Corde uguali su circonferenze che si intersecano - SNS 1975

[elios]

"Due circonferenze si intersecano e sia A uno dei punti di intersezione. Condurre per A le rette che formano con le due circonferenze corde uguali."

Io l'ho impostato in questo modo: innanzitutto chiamo R il raggio della circonferenza maggiore con centro in O' e r il raggio della circonferenza minore con centro in O''. Chiamo B il punto di intersezione della retta che devo condurre con la circonferenza maggiore e C il punto di intersezione con la circonferenza minore, e chiamo $alpha$ l'angolo $BO'A$ e $beta$ l'angolo $AO''C$. Dovendo essere $BA=AC$, applicando il teorema della corda ottengo
$2Rsinalpha=2rsinbeta$ e quindi $sinalpha/sinbeta=r/R$.
Chiamando $H$ il secondo punto di intersezione delle due circonferenze oltre A, e chiamando $gamma$ l'angolo $AO'H$ e $del$ l'angolo $AO''H$, posso scrivere
$AH=2Rsingamma=2rsindel$, da cui $singamma/sindel=r/R$
Poi, avendo 4 triangoli isosceli di cui conosco gli angoli al vertice, posso trovare le espressioni per gli angoli alla base e notare che, essendo B A C allineati, allora $BAO'+O'AH+HAO''+O''AC=2pi$, da cui $alpha+beta+gamma+del=2pi$.
Quindi ho abbastanza informazioni, perché ho le due equazioni:
$alpha+beta+gamma+del=2pi$
$sinalpha/sinbeta=singamma/sindel=r/R$
ma non so come ricavare effettivamente quali siano le rette da tracciare..

Qualcuno può aiutarmi? Grazie mille.

[giammaria]

I caso: le due corde sono dalla stessa parte rispetto ad A.
Le due circonferenze passano per l'altro estremo della corda: la soluzione è quindi la retta passante per le due intersezioni.
II caso: le due corde sono da parte opposta
Detti P e Q i punti medi delle corde e R e S i centri delle due circonferenze, PR e QS sono parallele perché perpendicolari alla stessa retta. Per A traccio la loro parallela, che incontra RS in M; poiché A è il punto medio di PQ, per il teorema di Talete M è medio fra R e S. Di qui la soluzione: detto M il punto medio fra i centri, la retta cercata è la perpendicolare in A ad AM.

Noto che quando non riesci a risolvere un problema per via elementare ricorri a metodi “proibiti” come Geogebra o la trigonometria e non posso certo rimproverarti perché lo faccio anch'io: è più facile trovare la soluzione elementare quando si sa dove puntare. Ti suggerisco di aiutarti anche con l'analitica: è insuperabile nel trovare luoghi geometrici e in questo problema attirava l'attenzione su AM.

[elios]

Grazie mille del suggerimento, forse dovrei arrendermi meno facilmente e tentare di più con le vie elementari prima di passare ai calcolacci..
Grazie ancora..