Triangolo dalle lunghezze con potenze - SNS 1975

[elios]

"Siano dati tre numeri $a$, $b$, $c$. Supponiamo che, per ogni numero intero positivo $n$, esista un triangolo le lunghezze dei lati del quale sono $a^n$, $b^n$, $c^n$, rispettivamente. Dimostrare che tutti questi triangoli sono isosceli."

Allora, io ho cercato di ridare una formulazione a questo esercizio in questo modo: $a$,$b$,$c$ sono tali che per ogni $n$, $a^n$, $b^n$, $c^n$ rappresentano lati di un triangolo. Ciò può avvenire solo per $a=b$.
Ho iniziato a scrivere allora un po' di disuguaglianze triangolari, a partire da $n=1$. Quindi $a<b+c$, $b<a+c$, $c<a+b$. Poi sono passata a $n=2$, $a^2<b^2+c^2$, $b^2<a^2+c^2$, $c^2<a^2+b^2$. E andando avanti ho notato che, più aumenta $n$ più la disuguaglianza diventa più "precisa", si stringe di più intorno all'effettivo valore di $a$, $b$, $c$. Infatti $a^2<b^2+c^2<(b+c)^2$, e così via $a^n<b^n+c^n<(a+b)^n$, cioè se è verificata $a^n<b^n+c^n$, allora è verificata anche $a<b+c$. Quindi dovrei analizzare soltanto le disequazioni con esponente $n$.
L'informazione che non riesco ad applicare è che $a$,$b$,$c$ sono tali che per ogni $n$, $a^n$, $b^n$, $c^n$ rappresentano lati di un triangolo. E' quell' "ogni $n$" che non so come applicare.. Forse dovrei applicare $n=1$, $n=2$, $n=3$ e così via?
Grazie dell'aiuto..

[giammaria]

Ti do solo il mio inizio: supposto $c \ge b \ge a$ e posto p=b-a si ha $c^n>b^n-a^n$. Essendo $(a+p)^n>a^n+n*a^(n-1)p$, allora ...

[elios]

$c^n>b^n-a^n=(a+p)^n-a^n>a^n+n*a^(n-1)*p-a^n=n*a^(n-1)*p$
quindi $c^n>n*a^(n-1)*p=n*a^n(b/a-1)$

ci penso ancora..

[corretto]

[giammaria]

Correggi il c in $c^n$. Poi p<...
EDIT: mi accorgo di un errore e me ne scuso: L'ordine dei lati deve essere $b \ge a \ge c$. Questo rende falsa la mia affermazione seguente; non la cancello per non confondere le idee a chi l'ha già letta.
Aggiungo un'osservazione: la mia dimostrazione conclude che a=b ma non usa le relazione $c \ge b$. Il ragionamento può quindi essere fatto scambiando queste due lettere e concludendo con a=c: l'ipotesi vale solo se il triangolo è equilatero.

[elios]

$c^n>n*a^(n-1)*p$
$p<c^n/(n*a^(n-1))$
Poi ho studiato l'espressione $c^n/(n*a^(n-1))$, cercando di capire se al crescere di $n$, anche l'espressione cresceva o diminuiva.. Ho provato a vedere cosa succede se impongo che l'espressione, all'aumentare di $n$, cresca:
$c^n/(n*a^(n-1))>c^(n-1)/((n-1)*a^(n-2))$
e dopo qualche calcolo
$(c(n-1)-na)/(na^n*c(n-1))>0$, cioè $c>n/(n-1)*a$
All'aumentare di $n$ (per il limite per $n$ che tende all'infinito) $n/(n-1)$ tende ad $1$. Cioè all'aumentare di $n$ $c^n/(n*a^(n-1))$ aumenta se $c$ tende ad $a$ (ci si avvicina restandone maggiore).
Allo stesso modo se provo ad imporre che l'espressione all'aumentare di $n$ diminuisca ottengo simmetricamente:
$c^n/(n*a^(n-1))<c^(n-1)/((n-1)*a^(n-2))$ e $c<n/(n-1)*a$
Cioè all'aumentare di $n$ $c^n/(n*a^(n-1))$ diminuisce se $c$ tende ad $a$ (ci si avvicina restandone minore). (Qualcuno mi aiuti ad interpretare questo risultato se ha un senso!)

Comunque se considero il caso in cui $c^n/(n*a^(n-1))$ diminuisce all'aumentare di $n$, essendo $p<c^n/(n*a^(n-1))$, devo considerare il caso in cui $c^n/(n*a^(n-1))$ sia minimo, essendo valido per ogni $n$, cioè il caso in cui $c=a$.

Mi scuso per questo ragionamento, è quello che ho partorito finora.. Ci sono sicuramente errori grossolani e terrificanti.. Intanto continuo a pensarci, grazie ancora per le dritte..

[giammaria]

Consiglio: cerca cose più facili. Spero che tu abbia notato che ho corretto un errore e che si ha $c \le a$.

[elios]

Sì ma non ho capito perché lo hai corretto.. Comunque la disuguaglianza triangolare iniziale si può scrivere per tutti e tre i lati..

[giammaria]

Il motivo c'è: mi serviva così. Un altro aiuto: la mia tesi è p=0.

[elios]

Sì. Allora ipotizzando che $c<=a$, allora $c^n/(n*a^(n-1))$ diminuisce sempre all'aumentare di $n$, mantenendosi sempre non negativo. Quindi, essendo la disequazione $p<=c^n/(n*a^(n-1))$ valida per ogni $n$, per $n$ che tende all'infinito l'espressione $c^n/(n*a^(n-1))$ tenderà a zero, e così $p$, che è sempre non negativo ($p=b-a$ con$b>=a$), tenderà a zero. $p=0$, $b-a=0$ cioè $a=b$.

[G.D.]

Mmm... vorrei esporre un mio dubbio. Il numero $p$ tende a $0$, non fa $0$, quindi a rigore di logica non puoi porre $p=0$, o sbaglio?