"Date le due progressioni aritmetiche
$1,4,7,...$
$7,33,59,...$
dimostrare che ogni progressioni aritmetica che le contiene entrambe ha ragione uno.
E' in facoltà del candidato generalizzare questo risultato provando che, se due progressioni aritmetiche hanno ragioni prime fra loro, ogni progressione aritmetica che le contenga entrambe ha ragione uno".
La mia risoluzione è stata la seguente:
Primo punto: Affinché la progressione aritmetica che sto cercando contenga entrambe le progressioni, essa deve contenere tutti i valori dell'una e tutti i valori dell'altra. Se la differenza fra $a_n$ (un certo valore della prima progressione) e $b_k$ (un certo valore della seconda progressione) fosse uguale a 1, allora la progressione aritmetica che le contenga deve necessariamente avere ragione 1 per contenere, come deve, questi due valori contemporaneamente.
Essendo $a_(12)=a_1+(12-1)*d_1=1+(12-1)*3=34$ il 12° numero della prima progressione aritmetica ed essendo $b_2=b_1+(2-1)*d_2=7+26=33$ il 2° numero della seconda progressione aritmetica, poiché $34-33=1$ è verificata l'ipotesi.
Secondo punto: Dimostro che date due progressioni aritmetiche $a_n=a_1+(n-1)*d_1$ e $b_t=b_1+(t-1)*d_2$, con $MCD(d_1;d_2)=k$, la progressione aritmetica che le contiene entrambe ha ragione pari a $k$. [Ovviamente, una volta dimostrato questo, è dimostrato anche per ragioni coprime].
Pongo $d_1=p*k$, $d_2=q*k$, con $p$ e $q$ coprimi tra loro. Prendo $a_1=b_1$ senza perdita di generalità (è come se considerassi le progressioni dal primo numero che hanno in comune).
Considero il successivo numero che hanno in comune: $(n-1)*p*k=(t-1)*q*k$, $(n-1)*p=(t-1)*q$. Essendo $p$ e $q$ coprimi, allora $n-1=q$ e $t-1=p$, cioè $n=q+1$ e $t=p+1$. Quindi $a_(q+1)=b_(p+1)$.
Ora considero $a_(n-1)=a_(q+1-1)=a_q$ e $b_(t-1)=b_(p+1-1)=b_p$, cioè i due numeri precedenti a quello che ho trovato appartenenti alle rispettive progressioni. Calcolo le loro differenze dal numero comune:
$a_(q+1)-a_q=d_1=p*k$
$b_(p+1)-b_p=d_2=q*k$
cioè, il numero che appartiene ad entrambe le progressioni iniziali, dista $p*k$ dal precedente numero appartenente alla prima progressione aritmetica e dista $q*k$ dal precedente numero appartenente alla seconda progressione aritmetica. La nuova progressione deve avere una ragione tale che contenga $b_p$, $a_q$, $a_(q+1)=b_(p+1)$, ed essendo $p$ e $q$ coprimi, tale ragione deve essere $k$.
Scrivendola, mi rendo conto che questa dimostrazione sia ridondante e sbrigativa nella parte finale..
Che ne dite? Grazie dell'aiuto.