Battello e stazioni - SNS 1979

[elios]

Io ho risolto a mio modo questo problema ma non mi sembra che mi riporti.

"Un battello scende lungo un fiume; sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive. Sapendo che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, si determini il numero delle stazioni.
(Si cerchi una formula che leghi il numero delle stazioni al numero massimo di passaggeri contemporaneamente presenti a bordo)."

Chiamo $n$ il numero di stazioni totali (compresa la partenza).
Ad ogni stazione $t$ (è il numero della stazione, $t=1$ per la prima, $t=2$ per la seconda..), salgono $n-t$ passeggeri (uno per ogni stazione che manca al traguardo) e scendono $t-1$ passeggeri (uno per ogni stazione che è preceduta alla stazione $t$), perciò ad ogni stazione il bilancio totale fra chi scende e chi sale è
$(n-t)-(t-1)=n-2t+1$
Vediamo che si crea una serie del tipo:
$t=1$, $n-1$
$t=2$, $n-3$
...
$t=n-1$, $-(n-3)$
$t=n$, $-(n-1)$
Ovviamente la somma totale di questi termini, essendo il bilancio totale fra tutti quelli che sono scesi e tutti quelli che sono saliti, è zero (il battello parte vuoto e dopo l'n-esima stazione sarà vuoto): infatti ogni termini della stazione $t$ si semplifica con il termine della stazione $n-t+1$.
Fino a metà dei termini, e quindi delle stazioni, la somma è positiva, cioè ci sono più persone che salgono piuttosto che scendono, cioè il numero dei passeggeri contemporaneamente presenti sul battello aumenta fino a metà strada, dove raggiunge il suo massimo.
In particolare, con $n$ dispari, il massimo dei passeggeri si ha per $(n/2-1/2)$ e per $(n/2+1/2)$ (il numero di passeggeri è lo stesso perché alla stazione $n/2+1/2$ il bilancio netto dei passeggeri che scendono e salgono è pari a 0); con $n$ pari, il massimo dei passeggeri si ha per $n/2$.

Ipotizziamo $n$ pari. La serie dei bilanci totale dei passeggeri diviene
$t=1$, $n-1$
$t=2$, $n-3$
...
$t=n/2-1$, $3$
$t=n/2$, $1$.
La somma di questa serie, che è la somma dei numeri dispari consecutivi da 1 a $n-1$, ci dà il numero massimo dei passeggeri contemporaneamente a bordo. La somma dei numeri dispari consecutivi (cominciando da 1) è pari a $((N+1)/2)^2$, dove $N$ è il numero più grande della serie.
Quindi tale somma è $((n-1+1)/2)^2=n^2/4$.
Chiamando $M$ il massimo numero dei passeggeri a bordo ottengo $M=n^2/4$, e sostituendo ad $M$ 380,
$n^2=1520$, ottenendo un valore non intero di $n$. Perché?

Ho svolto i calcoli anche con $n$ dispari, e il risultato è lo stesso. Dove ho sbagliato?
Grazie.

[elios]

O forse devo interpretare il risultato di $n$ non intero? Anche se mi sembra improbabile..

[G.D.]

Io penso semplicemente che l'hai fatta troppo complicata e ti sei persa, perché ioarrivo a un intero con una procedura molto simile alla tua.

Prendo $n=5$ stazioni. Alla prima stazione salgono $4$ passeggeri; alla stazione $k=2$ ne salgono $3$ e ne scende $1$, quindi ci sono $6$ passeggeri; alla stazione $k=3$ ne scendono $2$ e ne salgono $2$, quindi ce ne sono ancora $6$ a bordo; alla stazione $k=4$ ne sale $1$ e ne scendono $3$, quindi ce ne sono $4$; alla stazione $k=5$ ne salgono $0$ e ne scendono $4$: ne restano $0$.

Questo per dire cosa? Per dire che se $n$ sono le stazioni compresa quella di partenza e $k$ è la stazione in cui vogliamo calcolare quante persone ci sono a bordo dopo la salita e la discesa, allora ce ne sono $k(n-k)$ di passeggeri.

Ora $k$ ed $n-k$ sono due numeri interi positivi di somma fissa $n$, quindi il loro prodotto è massimo o se $k=n-k=n/2$ con $n$ pari, oppure se $k=(n+1)/2$ e $n-k=(n-1)/2$ con $n$ dispari. Ora $380$ non è del tipo $n^2 /4$, quindi resta solo l'altra possibilità e si nota che $380=19cdot20$, da cui $n=39$.

[elios]

Sì il tuo metodo è molto più semplice.. Solo una domanda: come si può giustificare che il numero di passeggeri a bordo è $k(n-k)$? $n-k$ sono i passeggeri che salgono alla stazione $k$, quindi è come se salissero $k$ volte.. Perché?

[G.D.]

All passo $k$-esimo ne sono saliti $n-1$, poi $n-2$, poi $n-3$, fino ad $n-k$, quindi la somma dei passeggeri saliti è $\sum_{i=1}^{k}(n-i)=\sum_{i=1}^{k}n - \sum_{i=1}^{k}i=kn-\frac{k(k+1)}{2}$.
Al passo $k$ esimo ne sono scesi $0$, poi $1$, poi $2$, poi $3$, fino a $k-1$, quindi la somma dei passeggeri scesi è $\sum_{i=1}^{k-1}i=\frac{(k-1)k}{2}$.
In totale al passo $k$-esimo ci sono $kn-\frac{k(k+1)}{2}-\frac{k(k-1)}{2}=nk-\frac{k(k+1)+k(k-1)}{2}=nk-\frac{k(k+1+k-1)}{2}=nk-\frac{2k^{2}}{2}=nk-k^{2}=k(n-k)$.

Come vedi ti eri solo persa nei conti

[elios]

Grazie mille!

[G.D.]

Prego!