Io ho risolto a mio modo questo problema ma non mi sembra che mi riporti.
"Un battello scende lungo un fiume; sia alla partenza che ad ogni stazione intermedia salgono sul battello tanti passeggeri, ognuno diretto ad una diversa stazione, quante sono le fermate successive. Sapendo che il numero massimo di passeggeri contemporaneamente presenti sul battello è 380, si determini il numero delle stazioni.
(Si cerchi una formula che leghi il numero delle stazioni al numero massimo di passaggeri contemporaneamente presenti a bordo)."
Chiamo $n$ il numero di stazioni totali (compresa la partenza).
Ad ogni stazione $t$ (è il numero della stazione, $t=1$ per la prima, $t=2$ per la seconda..), salgono $n-t$ passeggeri (uno per ogni stazione che manca al traguardo) e scendono $t-1$ passeggeri (uno per ogni stazione che è preceduta alla stazione $t$), perciò ad ogni stazione il bilancio totale fra chi scende e chi sale è
$(n-t)-(t-1)=n-2t+1$
Vediamo che si crea una serie del tipo:
$t=1$, $n-1$
$t=2$, $n-3$
...
$t=n-1$, $-(n-3)$
$t=n$, $-(n-1)$
Ovviamente la somma totale di questi termini, essendo il bilancio totale fra tutti quelli che sono scesi e tutti quelli che sono saliti, è zero (il battello parte vuoto e dopo l'n-esima stazione sarà vuoto): infatti ogni termini della stazione $t$ si semplifica con il termine della stazione $n-t+1$.
Fino a metà dei termini, e quindi delle stazioni, la somma è positiva, cioè ci sono più persone che salgono piuttosto che scendono, cioè il numero dei passeggeri contemporaneamente presenti sul battello aumenta fino a metà strada, dove raggiunge il suo massimo.
In particolare, con $n$ dispari, il massimo dei passeggeri si ha per $(n/2-1/2)$ e per $(n/2+1/2)$ (il numero di passeggeri è lo stesso perché alla stazione $n/2+1/2$ il bilancio netto dei passeggeri che scendono e salgono è pari a 0); con $n$ pari, il massimo dei passeggeri si ha per $n/2$.
Ipotizziamo $n$ pari. La serie dei bilanci totale dei passeggeri diviene
$t=1$, $n-1$
$t=2$, $n-3$
...
$t=n/2-1$, $3$
$t=n/2$, $1$.
La somma di questa serie, che è la somma dei numeri dispari consecutivi da 1 a $n-1$, ci dà il numero massimo dei passeggeri contemporaneamente a bordo. La somma dei numeri dispari consecutivi (cominciando da 1) è pari a $((N+1)/2)^2$, dove $N$ è il numero più grande della serie.
Quindi tale somma è $((n-1+1)/2)^2=n^2/4$.
Chiamando $M$ il massimo numero dei passeggeri a bordo ottengo $M=n^2/4$, e sostituendo ad $M$ 380,
$n^2=1520$, ottenendo un valore non intero di $n$. Perché?
Ho svolto i calcoli anche con $n$ dispari, e il risultato è lo stesso. Dove ho sbagliato?
Grazie.