Superfici sferiche - SNS 1979 (Conferma soluzione)

[elios]

"Per un punto P passano tre superfici sferiche distinte tra loro. Si considerino le affermazioni seguenti:
(a) nessuna retta passante per P è tangente a tutte e tre le sfere;
(b) nessuna sfera è tangente ad un'altra;
(c) esiste un altro punto Q in comune alle tre superfici sferiche.
Dire, per ogni coppia di affermazioni, se esse sono incompatibili, se sono equivalenti o se una delle due implica l'altra."

Coppia (a)-(b): ricordando che quando due curve sono tangenti, esse hanno in comune la retta tangente nel punto di tangenza, allora la frase (a) è uguale al dire che P non è un punto di tangenza per tutte e tre le superfici. Ma ciò non implica né esclude che una sfera possa essere tangente ad un'altra. Invece la proposizione (b), cioè che nessuna sfera è tangente ad un'altra, implica che per P, così come per nessun altro punto, non possa passare alcuna retta tangente a tutte e tre. Quindi il rapporto fra la frase (a) e la frase (b) è che la (b) implica la (a).

Coppia (a)-(c): Se P fosse stato il punto di tangenza per tutte e tre le superfici (cosa che la frase (a) nega), allora credo che la frase (c) sarebbe stata falsa (tre sfere tangenti in un punto come fanno ad avere un altro punto in comune fra loro?). Ma siccome per la (a) P è un punto di intersezione delle tre superfici sferiche ma non è il punto di tangenza per tutte e tre, ciascuna sfera deve avere un altro punto in comune con ciascun'altra sfera, ma ho dubbi se questo sia in comune fra tutte e tre o no..

Coppia (b)-(c): Che nessuna sfera sia tangente ad un'altra indica che ciascuna deve avere due punti in comune con ciascun'altra, ma, come prima, ho dubbi se fra questi punti in comune ce ne debba essere uno in comune fra tutte e tre oppure no..

Grazie mille dell'aiuto, sempre prezioso, che mi date.

[G.D.]

Per la coppia (a)-(b) io non sono d'accordo: secondo me (a) implica (b) e non viceversa.
Per la coppia (a)-(c) non lo so.
Per la coppia (b)-(c) la (c) implica la (b) ed ho dei dubbi sul viceversa.

Non chiedermi delle dimostrazioni ora perché devo ricamare su queste idee.

[elios]

Per la coppia (a)-(b) io non sono d'accordo: secondo me (a) implica (b) e non viceversa.

Ma "nessuna retta è tangente a tutte e tre" non esclude che una retta sia tangente a due delle tre superfici sferiche e in questo caso quelle due superfici sferiche sarebbero tangenti tra loro, e quindi la (b) non sarebbe vera.
Invece se nessuna è tangente con nessun altra, (b), allora ovviamente neppure tutte e tre sono tangenti tra loro, (a).

[nontrivialzero]

Io la vedo così:
L'affermazione C sostiene che le tre sfere hanno in comune i punti P e Q di conseguenza nessuna sfera è tangente ad un'altra $ C rArr B$ ( B non può implicare C perchè le tre sfere potrebbero non essere tangenti tra di loro ma avere comunque solo P in comune ).
Per quanto riguarda la coppia A,B sono daccordo con la spiegazione di Elios $ B rArr A$ .
Quindi se $ C rArr B rArr A$ secondo me $ C rArr A$. Ma siccome "secondo me" in matematica non è molto logico, anzi per niente, quindi cercherò una spiegazione e se la trovo la comunico.

[elios]

B non può implicare C perchè le tre sfere potrebbero non essere tangenti tra di loro ma avere comunque solo P in comune

Non riesco proprio a figurarmi quello che dici. Anche solo pensando al piano, quindi a delle circonferenze con in comune un punto e non tangenti tra loro, esse sono secanti fra loro e quindi devono avere un altro punto in comune.. O forse per le superfici sferiche non vale ciò?

[nontrivialzero]

Io riesco a visualizzarla a mente, spero di riuscire a guidarti: due sfere che si intersecano (quindi non tangenti) hanno una serie di punti in comune (infiniti) che formano una circonferenza; immagina ora la terza sfera tangente a questa circonferenza, ci sarebbe un solo punto in comune a tutte e tre, ma nessuna di loro sarebbe tangente ad un'altra.
Spero di essere stato chiaro, sennò provero a fare un modello con un programma di grafica 3d, ma ce l'ho sul pc del lavoro e lo potrò fare solo domani.

[elios]

Sì Sì me lo sono figurato..
Quindi ricapitolando, tu confermi il mio $B rArr A$, mi hai corretto $C rArr B$ e per una conseguenza puramente logica $C rArr A$...

[G.D.]

Io continuo a non essere d'accordo.

Provo che $(a) \implies (b)$.
Siano $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}$ le tre sfere e sia $P$ il punto che hanno in comune. Siano anche $\alpha, \beta, \gamma$ i piani tangenti in $P$ a $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}$, rispettivamente. Con una reductio ad absurdum, valga $(a)$ e non valga $(b)$: allora vale $\neg (b)$, i.e. esistono almeno due sfere tangenti in $P$. Allora i piani prima citati tangenti a queste due sfere coincidono. Il terzo piano passa anch'esso per $P$, quindi come minimo l'intersezione tra i due piani coincidenti e il terzo piano è non vuota: questa intersezione è una retta. Questa retta passa per $P$ ed è tangente a tutte le sfere: assurdo.

Penso ad un controesempio per $(b) \implies (a)$...

[nontrivialzero]

Sono di corsa, ho dato una letta veloce e credo che l'intoppo sia nella procedura per assurdo, perchè le affermazioni sono tutte vere. La strada della deduzione credo che sia migliore:
Se tu affermi A): nessuna retta è tangente a tutte 3 le sfere.
Allora io, da questa affermazione posso giungere a due conclusioni :
1) nessuna sfera è tangente ad un'altra (punto B)
2) Due delle tre sfere potrebbero essere tangenti tra loro.
E mi troverei in una situazione di incertezza.

Invece se tu affermi B) Nessuna sfera è tangente alle altre.
Allora posso sicuramente dire che:
Nessuna retta passante per P è tangente a tutte e 3 le sfere (punto A)

Edit:
Messo in pratica, l'affermazione C) è l'unica che mi permetta collocare le sfere in modo che siano valide sia B) che A) .
(Sono un carpentiere della matematica, come gli antichi greci cerco di risolvere tutto a riga e compasso )

[elios]

@Wizard: ti abbiamo convinto alla fine?