Dimostrazione polinomio - SNS 1979 (Conferma soluzione)

[Steven]

Come hai scritto tu, $p(0)=p(1)$.
Considerando $A(1)=p(1)-p(0)$ si ha $A(1)=0$ per ciò che ho appena detto.

Sì.

Considero $A(2)=p(2)-p(1)=p(2)-p(0)$. Affinché anche $A(2)$ sia zero, $p(2)=p(0)$.

Il contrario
Tu SAI già che $p(0)=p(2)$ (visto che vale la catena $p(0)=p(1)=....$
Quindi $A(2)$ vale zero.
E analogamente, iterando, $A(N)$ vale zero, per ogni $N$.

Quindi $A(x)$ si annulla per infiniti valori di $x$.
Se fosse diverso dal polinomio nullo, significherebbe che ha infinite radici, assurdo perché un polinomio di grado $n$ saprai che ammette al massimo $n$ radici in $RR$ (in $CC$ saprai che ne ammette $n$ di preciso perché è un campo algebricamente chiuso).

Ora penso alla seconda.
Ciao.

[elios]

Considero $A(2)=p(2)-p(1)=p(2)-p(0)$. Affinché anche $A(2)$ sia zero, $p(2)=p(0)$.

Il contrario

Sì ok, ho sbarellato. E per quanto riguarda l'obiezione di giammaria? Quella cosa la ricavo a partire dai numeri interi..

[Steven]

E per quanto riguarda l'obiezione di giammaria? Quella cosa la ricavo a partire dai numeri interi..

Penso abbia frainteso: non si voleva subito mostrare che il polinomio assumesse sempre lo stesso valore (cioè zero), ma mostrare che assume il valore di zero per INFINITI valori di $x$, da cui deriva effettivamente che il polinomio è identicamente nullo.

Infatti, come già detto, un polnomio reale di variabile reale di grado $n$ ammette al massimo $n$ valori di $x$ per cui s'annulla.

[giammaria]

La dimostrazione proposta da steven va bene

Sono pienamente d'accordo; la mia obiezione era che il completamento dato da elios mancava di una parte.
Per elios: la seconda parte può essere svolta esattamente come hai fatto tu nel primo intervento; forse ci sono metodi migliori ma non mi vengono in mente. Dal sistema non si può però ricavare $b_5$ che può quindi avere qualsiasi valore (corrisponde al mio +k) e ci sono perciò infinite soluzioni.

[Mathematico]

Sono pienamente d'accordo; la mia obiezione era che il completamento dato da elios mancava di una parte.

Sì, ho riletto per bene la discussione, e mi accorgo solo ora che ti riferivi a elios... La devo smettere di rispondere ai post quando la mia testa è altrove .

Per far sì che questo messaggio sia completamente inutile, consiglio di seguire il ragionamento di giammaria per la seconda parte perchè richiede meno conti e ti fa risparmiare molto tempo..

[elios]

Ah.. Quindi tutti i polinomi della forma $P(x)=b_1x^4+b_2x^3+b_3x^2+b_4x+b_5$ con $b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$ della forma calcolata in funzione dei coefficienti di Q(x), e con $b_5$ qualunque numero reale, sono soluzione, perciò tali polinomi sono infiniti.

[elios]

Due curiosità:
1) cosa vuol dire esattamente "identicamente nullo"?
2) ho provato a fare i conti con un grado di $Q(x)$ maggiore di 3 e la soluzione mi viene plausibile anch'essa, cioè ci sono infiniti polinomi $P(x)$. Allora perché il problema mi chiede di dimostrarlo per un grado minore o uguale a 3? per facilitarmi i calcoli?

[giammaria]

1) "identicamento nullo" significa "nullo per ogni valore di x".
2) Me lo sono chiesto anch'io; penso che sia solo per facilitare i calcoli. Fra l'altro, ho una mezza idea per una soluzione di altro tipo; se funziona la posterò.