Circonferenze tangenti - SNS 1979

[elios]

"Si considerino due circonferenze $C$ e $C_1$, di raggi rispettivamente $R$ ed $R_1$, tra loro tangenti esternamente ad un punto $P$, ed una retta $alpha$, tangente ad entrambe, non passante per $P$.
Siano poi:
$C_2$, la circonferenza tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_1$, di raggio $R_2>R_1$;
$C_3$, la circonferenze tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_2$, di raggio $R_3>R_2$;
...
$C_(k+1)$, la circonferenza tangente ad $alpha$, a $C$ ed a $C_k$, di raggio $R_(k+1)>R_k$;
...
Sapendo che $R=100R_1$, trovare, al variare dell'intero $k$, il valore di $R_k$, e dire se i cerchi $C_k$ esistono per ogni $k$; in caso contrario, trovare il massimo $k$ per cui $C_k$ esiste.
(Si consiglia di determinare preliminarmente la relazione che intercorre fra i raggi di tre cerchi, ciascuno dei quali tangenti esternamente agli altri due, e tutti tangenti ad una stessa retta)."

Vorrei innanzitutto partire dall'ultimo suggerimento, e quindi concentrarmi sul caso di soli tre cerchi. Considero tre cerchi di raggio $r_1$, $r_2$, $r_3$ (per non confonderli ancora con i cerchi di raggio $R_i$) tangenti alla stessa retta e ciascuno tangente agli altri due. Traccio i segmenti che uniscono a due a due i centri dei tre cerchi e traccio per ciascun centro la perpendicolare alla retta. In questo modo ottengo tre trapezi rettangoli, di cui conosco le basi (che sono i raggi dei cerchi) e i lati obliqui (che sono la somma di due raggi alla volta).
Considero il trapezio rettangolo formato dalla congiungente fra i centri dei cerchi di raggi $r_1$ e $r_2$, con $r_1<r_2$ (chiamo i centri $O_1$ e $O_2$), dalle proiezioni dei due centri sulla retta ($A_1$ e $A_2$) e dal segmento $A_1A_2$ sulla retta. Si ha $A_1O_1=r_1$, $A_2O_2=r_2$, $O_1O_2=r_1+r_2$. Calcolo il coseno dell'angolo alla base ($A_2O_2O_1$): $cosA_2O_2O_1=(r_2-r_1)/(r_1+r_2)$. Calcolo il seno a partire dal coseno: $senA_2O_2O_1=(2sqrt(r_1*r_2))/(r_1+r_2)$. Quindi calcolo $A_1A_2=O_1O_2*senA_2O_2O_1=2sqrt(r_1*r_2)$.
Posso fare lo stesso tipo di ragionamento per $A_1A_3=2sqrt(r_1*r_3)$, e per $A_2A_3=2sqrt(r_2*r_3)$.
La condizione è che $A_2A_3=A_2A_1+A_1A_3$, cioè $sqrt(r_1*r_2)+sqrt(r_1*r_3)=sqrt(r_2*r_3)$.
E' questa la relazione?

Grazie mille dell'aiuto.

[G.D.]

Bel problema! Per ora non c'ho capito na mazza, ma è un bel problema!

P.S.
Ma hai deciso di risolvere tutti i problemi posti dalla SNS dalle origini ad oggi?! Ammirevole. Complimenti!

[elios]

Allora aspetto che le mazze si svelino ai tuoi occhi..! Sì qualcosa del genere, voglio vincere un premio al coraggio!

[G.D.]

Allora aspetto che le mazze si svelino ai tuoi occhi..!

E beh... allora stiamo freschi