Calcolare la radice di due - SNS 1981

[elios]

"Trovare quattro numeri interi positivi $a$, $b$, $c$, $d$, in modo che per ogni numero razionale positivo $x$ risulti
$|(ax+b)/(cx+d) - sqrt2|<1/(10)|x-sqrt2|$.
Utilizzando la formula trovata, calcolare $sqrt2$ con l'approssimazione di $10^(-3)$."

Allora, per la prima parte dell'esercizio non ci sono grossi problemi: penso che ci siano diversi modi per trovare quei quattro numeri, ad esempio io ho trovato
$|(10sqrt2x+18)/(9x+10sqrt2) - sqrt2|<1/(10) |x-sqrt2|$, oppure $|(sqrt2x+2)/(x+sqrt2) - sqrt2|<1/(10) |x-sqrt2|$...
Il problema è che per ottenere questi quattro numeri io ho proceduto imponendo che quella disuguaglianza iniziale fosse valida per QUALUNQUE $x$, e perciò, ovviamente, se provo a fare i conti ed esplicitare $sqrt2$ nella disuguaglianza, alla fine il termine in $x$ verrà semplificato, e otterrò, ad esempio nel primo risultato $sqrt2>1$. Essendo indipendente dalla $x$, non riesco ad ottenere l'approssimazione richiesta..
Come faccio?

Grazie dell'aiuto.

[adaBTTLS]

non mi sono messa a fare i conti, ma immagino che l'indipendenza della disuguaglianza da $x$ ci autorizzi ad iterare il procedimento.
ad esempio, utilizzando la seconda espressione da te trovata:
$y=(sqrt2x+2)/(x+sqrt2), z=(sqrt2y+2)/(y+sqrt2), t=(sqrt2z+2)/(z+sqrt2), |t-sqrt2|<1/10|z-sqrt2|<1/100|y-sqrt2|<1/1000|x-sqrt2|$.
spero che il suggerimento sia utile. ciao.

[giammaria]

Ma i numeri da trovare non dovevano essere interi? I vostri non lo sono.

[adaBTTLS]

sembrerebbe di sì. in ogni caso io non li ho cercati, dato che elios ha detto di aver trovato diverse soluzioni..., mentre chiedeva aiuto per la seconda parte.

[elios]

non mi sono messa a fare i conti, ma immagino che l'indipendenza della disuguaglianza da $x$ ci autorizzi ad iterare il procedimento.
ad esempio, utilizzando la seconda espressione da te trovata:
$y=(sqrt2x+2)/(x+sqrt2), z=(sqrt2y+2)/(y+sqrt2), t=(sqrt2z+2)/(z+sqrt2), |t-sqrt2|<1/10|z-sqrt2|<1/100|y-sqrt2|<1/1000|x-sqrt2|$.
spero che il suggerimento sia utile. ciao.

Ho provato ad utilizzare $|t-sqrt2|<1/(1000)|x-sqrt2|$, ma qualunque $z$ sostituisco il primo membro viene zero.. Non riesco proprio a capire la logica con cui dovrei risolvere questo esercizio..

[elios]

Ma i numeri da trovare non dovevano essere interi? I vostri non lo sono.

Sinceramente non mi ero focalizzata sul fatto che debbano essere interi. Forse è lì l'errore: i numeri che ho trovato io sono "troppo buoni", nel senso che eliminano la dipendenza dalla $x$, invece io devo cercare dei numeri interi che rendano vera la disuguaglianza ma senza riuscire ad eliminare la $x$.. Ci provo.

[elios]

Credo di avercela fatta. Come avevo detto ho cercato dei valori interi di $a$ e $c$ che rendessero vera la disuguaglianza. Usando le frazioni ce ne sono infiniti e io ho scelto
$|(3x+4)/(2x+3) - sqrt2|<1/(10) |x - sqrt2|$

A questo punto per trovare radice di due, ho che
-$x>sqrt2$, allora $sqrt2>(-2x^2+27x+40)/(18x+27)$ e sostituendo dei valori maggiori di $sqrt2$ si ha, ad esempio per $x=2$, $sqrt2>1,365$, per $x=1,5$, $sqrt>1,404$.
-$x<sqrt2$, allora $sqrt2<(-2x^2+27x+40)/(18x+27)$ e sostituendo si ha ad esempio per $x=1$, $sqrt2<1,444$, per $x=1,4$, $sqrt2<1,415$.

Se volete posto i calcoli.
Grazie dell'aiuto.

[adaBTTLS]

prego.
se non è troppo complicato, posta pure.
almeno una traccia, saltando i passaggi più banali, mettila comunque, visto che il problema potrebbe interessare a molti utenti.
ciao.

[elios]

Come promesso posto i calcoli, almeno i passaggi:
Cerco i valori per cui $(ax+b)/(cx+d)-sqrt2>0$, $x(a-sqrt2c)>sqrt2d-b$. Prendo $a>sqrt2c$ ed ho $x>(sqrt2d-b)/(a-sqrt2c)$. Per far coincidere lo scioglimento dei due moduli pongo $(sqrt2d-b)/(a-sqrt2c)=sqrt2$, da cui $a=d$, $b=2c$. A questo punto il sistema diventa
$x>=sqrt2$
$(ax+2c)/(cx+a)-sqrt2<1/10*x-sqrt2/(10)$
Risolvo questa disequazione e ottengo
$cx^2+x(9sqrt2c-9a)+9sqrt2a-20c>0$
che ha come soluzioni $x_1=sqrt2$ e $x_2=(9a-10sqrt2c)/c$. Poiché le soluzioni delle disequazioni sono esterne, affinché l'insieme soluzione di questa disequazione coincida con $x>=sqrt2$, si deve avere $(9a-10sqrt2c)/c<sqrt2$, cioè $a<11/9*sqrt2c$.
Mettendo insieme le due condizioni, $sqrt2c<a<11/9sqrt2c$. Prendo ad esempio $a=3/2c$. Ottengo
$|(3x+4)/(2x+3)-sqrt2|<1/10|x-sqrt2|$.
(Avendo fatto lo stesso sistema precedente ma con $x<sqrt2$ e con $cx^2+x(9sqrt2c-9a)+9sqrt2a-20c<0$, che ha come soluzioni $(9a-10sqrt2c)/c<x<sqrt2$, e avendo imposto $(9a-10sqrt2c)/c<0$ (per comprendere tutti i numeri razionali positivi), cioè $a<10/9sqrt2c$, noto che $a=3/2c$ rispetta questa condizione.)
Per calcolare $sqrt2$, divido la disequazione in funzione dei moduli:
$x>=sqrt2$, $(3x+4)/(x+3)-sqrt2<1/10(x-sqrt2)$, da cui $sqrt2>(-2x^2+27x+40)/(18x+27)$, e si calcola come ho scritto nei precedenti post, e così si fa per $x<sqrt2$.

Spero sia tutto chiaro.