Cerchio equidistante dai vertici - SNS 1981

[pizzaf40]

Scusate tutti ancora per l'errore di prima...soprattutto nei confronti di elios che è il principale interessato.

[elios]

Ma quali scuse, per favore, io non faccio altro che ringraziarvi tutti. Ogni intervento mi spalanca una miriade di possibili ragionamenti, davvero.

Allora, partendo da quell'esercizio che è stato opportunamento linkato, cerco di ripercorrerne i punti, sempre nel caso in cui il quadrilatero ABCD non sia inscrittibile in una circonferenza:
a) La circonferenza non può passare per uno dei quattro punti perché altrimenti il quadrilatero sarebbe ciclico.
b) La circonferenza non può lasciare i quattro punti tutti nella medesima regione di spazio (dentro il cerchio oppure esternamente ad esso) perché i punti dovrebbero essere equidistanti dal centro, che è assurdo.
c) La circonferenza può lasciare tre punti da una parte e uno dall'altra: in particolare ci sono 4 circonferenze che hanno come centro il circocentro dei quattro triangoli che si possono considerare (ABC, ABD, ACD, BCD) e come raggio la media tra il raggio del centro circoscritto e quello del cerchio concentrico al precedente passante per il quarto punto. (almeno credo)
d) La circonferenza può lasciare due punti da una parte e due dall'altra, ma ho avuto qualche difficoltà in questo caso.. Per quello che ha detto giammaria qui le soluzioni dovrebbero essere 3...

[giammaria]

Bravissima per i primi tre punti; pensa ancora un po' al quarto. Rettifico in parte la mia risposta: per il punto d) ci sono in generale 3 soluzioni, che però in qualche caso particolare si riducono a 2 o 1.

[elios]

Allora,
d) la circonferenza deve avere per i due punti interni che r-OA=r-OB, cioè OA=OB cioè il centro della circonferenza è sull'asse di AB. Per i due punti esterni si ha OC-r=OD-r, cioè il centro della circonferenza deve essere anche sull'asse di CD. Quindi, se l'intersezione dei due assi rispetta le condizioni: OA+OC=2r la circonferenza ha le caratteristiche richieste.
E lo stesso vale per le coppie BC, e AD. Quindi io ottengo 2 possibili circonferenze.. Quale è la terza?

[giammaria]

Le coppie AC, BD cioè le diagonali: ad esempio in un rombo possono essere interni gli estremi della diagonale minore ed esterni gli altri. Ritengo che tu abbia scritto "se l'intersezione dei due assi rispetta le condizioni OA+OC=2r" intendendo in realtà scrivere "se O è l'intersezione dei due assi e il raggio è dato dalla formula OA+OC=2r "
Perchè ho detto che in qualche caso le soluzioni di questo punto possono essere meno di 3?

[elios]

Sì sì sono stata imprecisa.. Chiaramente le circonferenze sono 4+3 sono in un caso molto specifico.. Generalmente parlando saranno meno..
Grazie mille!

[giammaria]

le circonferenze sono 4+3 sono in un caso molto specifico.. Generalmente parlando saranno meno..

Il contrario: sono 4+3 in generale e meno in casi specifici.

[elios]

E' inverosimile quanto riesco ad esprimermi male..

[giammaria]

Consolati: fra i miei ricordi più vivi c'è la volta in cui mi hanno rivolto questa frase. "Hai detto che ... Ma forse intendevi l'esatto contrario?". La risposta era sì.