Somma cubi - SNS 1982

[ViciousGoblin]

Sì ho capito. Solo una cosa: questa risoluzione è equivalente al problema? Cioè da quello che ho capito dimostra che la somma dei cubi di $m$ e $n-m$ è divisibile per $n$, e il problema chiede di dimostrare che la somma dei cubi di tutti i numeri primi con $n$ minori di $n$ sia divisibile per $n$...

Non capisco bena la domanda. Come dici giustamente la dimostrazione fa vedere che preso un $m$ piu' piccolo di $n$ il numero $m^3+(n-m)^3$ e' divisibile per $n$. Per dimostrare l'enunciato di partenza devi solo osservare che i numeri primi con $n$ compiono a coppie $m$ e $n-m$.

Mi rendo conto ora mentre rispondo che per far funzionare questa parte della dimostrazione bisogna controllare che $m\ne n-m$. Ma se fosse $m=n-m$ allora $n=2m$ per cui $n$ non sarebbe primo con $m$. Aggiungo questo dettaglio al post precedente.

[giammaria]

Io aggiungo un altro dettaglio: invece di usare il prodotto notevole si può calcolare il cubo, ed è forse anche più breve.

[elios]

la dimostrazione fa vedere che preso un $m$ piu' piccolo di $n$ il numero $m^3+(n-m)^3$ e' divisibile per $n$. Per dimostrare l'enunciato di partenza devi solo osservare che i numeri primi con $n$ compiono a coppie $m$ e $n-m$.

E ok. Perché io avevo interpretato che i numeri primi con $n$ i cui cubi sono da sommare debbano essere i singoli fattori, e non ad esempio $m$ e $n-m$, cioè due termini soli.. Non riesco a spiegarmi meglio, mi dispiace.

[ViciousGoblin]

la dimostrazione fa vedere che preso un $m$ piu' piccolo di $n$ il numero $m^3+(n-m)^3$ e' divisibile per $n$. Per dimostrare l'enunciato di partenza devi solo osservare che i numeri primi con $n$ compiono a coppie $m$ e $n-m$.

E ok. Perché io avevo interpretato che i numeri primi con $n$ i cui cubi sono da sommare debbano essere i singoli fattori, e non ad esempio $m$ e $n-m$, cioè due termini soli.. Non riesco a spiegarmi meglio, mi dispiace.

Cioe' tu pensavi di dover sommare i cubi di tutti i primi minori di $n$ che non sono fattori di $n$ - e' cosi'?
Non ti preoccupare comunque - ora il discorso ti convince?

[giammaria]

@elios. Probabilmente ti sei solo spiegata male anche nel tuo ultimo intervento, ma nel dubbio lo rettifico. I numeri da considerare sono effettivamente tutti quelli primi con n ed inferiori ad esso, ma possono essere presi due a due, accoppiando ad ogni numero $m$ il numero $n-m$. Ogni coppia dà un risultato divisibile per n, e lo è quindi anche la somma dei risultati di tutte le coppie.

[ViciousGoblin]

Facciamo un esempio per capirci. Mettiamo che $n=12$. Allora quello che si vuole dimostrare e' che
$1^3+5^3+7^3+11^3$ e' divisibile per $12$. Nella somma ho scartato i cubi di $2,3,4,6,8,9$ perche' non sono primi con $12$.
La dimostrazione proposta mette insieme $1^3+11^3$ e $5^3+7^3$ e fa vedere che entrambi sono divisibili per $12$, per cui la somma complessiva e' divisibile per $12$.
Che ne dici ?

[elios]

Ah sì sì.. Ora ho capito. Quindi effettivamente non avevo capito male l'esercizio, ma non lo collegavo con la risoluzione di Vicious. Grazie mille! Grazie ancora.