Eguaglianza fattoriali - SNS 1985

[elios]

"L'eguaglianza $p!+q!+r! =s!$ è soddisfatta per $p=q=r=2$ e $s=3$. Dire se esistono altri numeri interi positivi per cui tale eguaglianza è vera."

La mia risposta è che non ci sono altri numeri interi che soddisfano l'eguaglianza e ho cercato di dimostrarlo.
Ponendo che $p$ sia il minore dei 4 numeri posso scrivere ciascuno degli altri numeri in questo modo:
$q! =q*(q-1)...(p+1)*p*(p-1)...3*2*1=q*(q-1)...(p+1)*p!$
E l'uguaglianza diviene
$p!+q(q-1)...(p+1)*p!+r(r-1)...(p+1)*p! =s(s-1)...(p+1)*p!$
$s(s-1)...(p+1)=1+q(q-1)...(p+1)+r(r-1)...(p+1)$
$1=(p+1)[s(s-1)...-q(q-1)...-r(r-1)...]$
dove $(p+1)$ non è necessariamente $p+1$ ma rappresenta il massimo fattore comune fra $q$, $r$ e $s$ dopo che sono stati divisi per $p!$.
E' evidente che quella moltiplicazione non possa mai fare 1, se il massimo fattore comune è maggiore di 1, dato che la seconda parentesi non potrà mai essere un numero compreso fra 0 e 1.
Conseguentemente il massimo fattore comune fra $p$,$q$,$r$ e $s$ è $p$, cioè c'è solo un intero fra questi quattro (ed è $s$ poiché è il maggiore) che ha dei fattori oltre $p!$, cioè $p=q=r$.
L'eguaglianza si riduce a
$p!+p!+p! =s(s-1)...(p+1)p!$
$1+1+1=s(s-1)...(p+1)$
$s(s-1)...(p+1)=3$
Una serie di fattori può fare 3 solo se c'è un solo fattore, che è appunto 3, cioè $s=p+1=3$. Da cui $p=2$.

Spero che il mio discorso sia abbastanza chiaro. E' corretto?
Grazie dell'aiuto.

[Steven]

Ciao!
Ok, hai colto l'idea, il problema si risolve così.

Qualche appunto:

dove $(p+1)$ non è necessariamente $p+1$ ma rappresenta il massimo fattore comune fra $q$, $r$ e $s$ dopo che sono stati divisi per $p!$.

Perché dici che è il massimo?
A priori (cioè prima delle considerazioni che seguono) anche \( \displaystyle p+2 \) potrebbe essere un fattore comune.
Forse volevi dire minimo?

Ad ogni modo ti scrivo come avrei concluso io.
Arrivato a

\( \displaystyle 1+q(q-1)\cdot...(p+1)+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1) \)

si ha che \( \displaystyle p+1 \) divide il secondo membro e due addendi del primo, da cui facilmente \( \displaystyle 1|(p+1) \) e questo sarebbe possibile solo se \( \displaystyle p=0 \) , ma il testo parla di numeri positivi.

Quindi dobbiamo concludere che \( \displaystyle p+1 \) non divide nemmeno uno di quei due addendi, cioè dopo aver diviso ad esempio \( \displaystyle q! \) per \( \displaystyle p! \) non avanza nulla, cioè \( \displaystyle p=q \) .
A questo punto si avrebbe

$ \( \displaystyle 2+r(r-1)\cdot...(p+1)=s(s-1)\cdot...(p+1) \) ma ragionando come prima (*) si ha appunto
\( \displaystyle p=q=r \) e si conclude.

(*)
Sto tralasciando il caso \( \displaystyle p=2 \) perché stiamo cercando altre quaterne, diverse da quella nota.

[elios]

Grazie Steve, ho capito. Diciamo che volevo dire all'incirca ciò che tu hai detto per bene! Ad esempio, intendevo il minore fattore comune.. Grazie ancora!