esercizietto sui Complessi

[Gaal Dornick]

Vi propongo questo esercizietto, non troppo difficile.

Siano $z_1,z_2,z_3 \in CC$, tutti di moduli unitario. Se $z_1+z_2+z_3=0$ allora questi formano un triangolo equilatero sul piano di Gauss.

Ciò che più mi interessa è cercare di risolverlo in maniera "compatta", dato che l'ho risolto, ma con un po' di conti, in modo da generalizzare il risultato alla somma di $n$ numeri.

[Steven]

Ciao Gaal!
La soluzione che ho trovato io è molto breve e geometrica.

Sol.

Detti
\( \displaystyle z_1=x_1+iy_1 \)
\( \displaystyle z_2=x_2+iy_2 \)
\( \displaystyle z_3=x_3+iy_3 \)

la condizione \( \displaystyle z_1+z_2+z_3=0 \) implica facilmente.
\( \displaystyle x_1+x_2+x_3=0 \)
\( \displaystyle y_1+y_2+y_3=0 \)

Quindi sul piano di Gauss il baricentro del triangolo formato dai tre punti sarà il punto \( \displaystyle (0,0) \) dopo aver ricordato che l'ascissa (ordinata) del baricentro è la somma delle ascisse (ordinate) dei tre vertici diviso 3.

I tre punti giacciono sulla circonferenza unitaria (hanno norma 1 per ipotesi), cioè il triangolo è inscritto nella circonferenza.
Gli assi dei lati del triangolo si incontreranno nell'origine (centro della circonferenza), che è dunque circocentro.

Ma la coincidenza tra baricentro e circocentro in un triangolo è condizione necessaria e sufficiente affinché esso sia equilatero (si dimostra facilmente con elementari strumenti di geometria sintetica).

Ora non so se quest'approccio possa venir utile per un'eventuale generalizzazione.
Tu che strada avevi preso?

Ciao.

[dissonance]

Non credo che si possa generalizzare ulteriormente. Pensavo che $z_1+...+z_n=0$ implicasse che $z_1 ... z_n$ fossero i vertici di un $n$-gono regolare ma questo è falso per $n>3$, ad esempio

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In effetti il significato geometrico di $z_1+...+z_n=0$ è quello che dice Steven: se piazziamo $n$ masse tutte uguali in $z_1, z_2, ..., z_n$, il relativo centro di massa è nell'origine. Per $n=3$ questo implica $z_1^3=z_2^3=z_3^3$, e se $z_1=1$ allora i tre vertici sono le radici terze dell'unità. Curioso.

[Gaal Dornick]

Ottimo. Io purtroppo nè ricordavo questa caratterizzazione dalla geometria sintetica nè avevo voglia di andare a vedere se ce n'era una.. Avevo ragionato così:
si ha che $|z_i|=e^(i theta_i)$ e $z_3=-z_2-z_1$ implica $\frac{z_3}{z_1}=-\frac{z_2}{z_1}-1$ (posso dividere perchè $|z_1|!=0$) e da lì si ha $e^(i(theta_3-theta_1))=-1-e^(i(theta_2-theta_1))$.
Da qui uguaglio parte reale e parte immaginaria, e con un po' di giochi tra seno e coseno si ha che $theta_i-theta_j$ è opportuno multiplo di $2/3 pi$, il che permette di concludere.
Pensavo, in realtà senza pensarci troppo..Dissonance ha dato il controesempio, di riuscire a generalizzare il risultato.

Infatti si ha che:
$z_1,...,z_n$ radici dell'unità $=>$ $sum_i z_i=0$.
Abbiamo provato che vale un "viceversa" nel caso $n=3$. In particolare se uno dei 3 è $1$ è vero.
A questo punto mi potrei domandare: vale:
$z_1,..,z_n$ di modulo unitario, con $z_1=1$, $z_1+..+z_n=0$ allora formano un n-agono regolare?
Ci penserò..

[dissonance]

vale:
$z_1,..,z_n$ di modulo unitario, con $z_1=1$, $z_1+..+z_n=0$ allora formano un n-agono regolare?

No, non vale...Ruota il rettangolo di sopra di 60° in senso orario e salta fuori il controesempio. Questo risultato è vero per $n=3$ (e anche, banalmente, per $n=2$) e non per $n$ superiori perché (IMHO) da
$1+z_2+z_3=0$
segue che $|z_2+z_3|=|1+z_2|=|1+z_3|=1$, ovvero sommando solo due dei tre vettori si resta sulla circonferenza unitaria; per la proprietà associativa la somma di questi due vettori deve essere il terzo vettore cambiato di segno. Direi che è questo il "motore" algebrico del risultato, motore che non funziona più se $n>3$.