Il treno di Tizio - SNS 1987

[elios]

"Tizio si trova nella sua abitazione e deve prendere un treno che parte dalla stazione esattamente tra mezz'ora. Sotto la sua abitazione c'è la fermata di un autobus che lo porta alla stazione in 20 minuti. A 5 minuti di cammino vi è una fermata da cui passano altre due linee di autobus che lo possono portare alla stazione in 18 minuti.
Tizio non conosce l'orario di passaggio degli autobus, ma sa che su ognuna delle linee, gli autobus passano ogni quarto d'ora.
Quale strategia conviene a Tizio per avere maggiore probabilità di prendere il treno?"

La mia soluzione è questa:

Analizzo la prima strategia. Se chiamo $x$ il tempo che Tizio dovrà aspettare alla fermata sotto casa, ho $0<=x<=15$ minuti. Per $0<=x<=10$ Tizio riesce a prendere il treno; per $10<x<=15$ Tizio non lo prende. Cioè la probabilità che lo prenda è di $11/16$.

Analizzo la seconda strategia. Tizio impiega comunque 5 minuti di cammino. Gli rimangono 25 minuti da spendere per aspettare e prendere il pulman.
Il fatto che ora passino due linee, ma che Tizio non sa a che distanza di tempo l'una dall'altra, mi porta ad interpretare ciò nel modo più catastrofico, cioè Tizio deve aspettare al massimo 14 minuti. Infatti si suppone che i due pulman delle due diverse linee non passino contemporaneamente, ma come cosa peggiore passino in due minuti consecutivi, e quindi a Tizio potrebbe capitare di dover aspettare 14 minuti. Quindi si ha $0<=x<=14$. Per $0<=x<=7$ (infatti 5+7+18=30) Tizio riesce a prendere il treno; per $7<x<=14$ lo perde. Quindi la probabilità che lo prenda è $8/15$.

Essendo $11/16>8/15$, a Tizio conviene la prima strategia.

I miei dubbi sono soprattutto sullo studio della seconda strategia, se ho interpretato bene quelle due linee di pulman che passano.
Grazie dell'aiuto.

[adaBTTLS]

il problema non va impostato nel senso dell'ipotesi "più catastrofica".
devi studiare la probabilità di ciascuna delle due linee e, considerando il fatto che "prenderà la prima", trovare la probabilità che perda il treno come prodotto delle probabilità che l'una e l'altra linea glielo facciano perdere.
è chiaro?

[elios]

Ok. Quindi considero le due linee indipendentemente l'una dall'altra. Quindi ciascuna può passare entro 15 minuti, $0<=x<=15$. Per ciascuna vale che se $0<=x<=7$ Tizio riesce a prendere il treno, e se $7<x<=15$ Tizio lo perde. Per ogni pulman la probabilità di perderlo è $8/16=1/2$, e quindi la probabilità che nessuno dei due pulman gli faccia prendere il treno è $1/4$. Quindi se ho capito bene, la probabilità che prenda il treno è $3/4$.
Quindi questa probabilità è maggiore della prima strategia.
Ho capito?

[MaMo]

La probabilità che non riesca a prendere nessuno dei due pulman è $8^2/15^2$ quindi...

[Umby]

La mia soluzione è questa:

Analizzo la prima strategia. Se chiamo $x$ il tempo che Tizio dovrà aspettare alla fermata sotto casa, ho $0<=x<=15$ minuti. Per $0<=x<=10$ Tizio riesce a prendere il treno; per $10<x<=15$ Tizio non lo prende. Cioè la probabilità che lo prenda è di $11/16$.

A me non piace il fatto che tu divida il tempo (15 minuti) in 16 parti, per poi dire che 11 di queste sono "valide".
Vedrei i 15 minuti come un segmento dove i primi $2/3$ (10 minuti) rappresentano la probabilità "valida",
e gli altri 5 minuti $1/3$ quella "non valida".

Lo stesso dicasi per la seconda scelta.

[elios]

Però in questo ragionamento, e così nel risultato di MaMo, non viene considerato il tempo 0, cioè Tizio che arriva alla stazione nello stesso istante in cui passa il pulman, o sbaglio?

[adaBTTLS]

nel continuo la probabilità è non nulla solo se la misura dell'intervallo è non nulla.
nella tua prima soluzione dove sarebbe finito l'intervallo $14<x<15$ ?

come dice Umby, la probabilità che fermandosi sotto casa arrivi in tempo è $10/15=2/3$,
mentre la probabilità che arrivi in tempo andando all'altra fermata è $1-(1-7/15)^2=(225-64)/225=161/225>2/3$, come diceva MaMo

questo se non ho preso abbagli leggendo una cosa per un'altra.

[elios]

Ho capito, quindi l'arrivo al tempo zero è compreso in quel $10/15=2/3$, dividendo l'intervallo di tempo nella parte "valida" e quella "non valida".. Grazie mille delle spiegazioni.!

[adaBTTLS]

prego!