[Ammissione S.Anna] Equazione quarto grado

[Slashino]

Salve a tutti, il problema posto da me è il seguente:

Determinare tutte le coppie ( x;y) di numeri interi tali che :

X^4 + 3X^2Y^2 + 9X^4 = 12^2006

Accetto di tutto, dalla soluzione completa a semplici suggerimenti..Buon lavoro.

ps: non sono in possesso della soluzione, ho rimediato l esercizio sul sito della sant'anna di pisa ( ingegneria )

[blackbishop13]

intanto ti consiglio di seguire il regolamento del foum e scrivere le formule in modo appropriato, così è più facile capire.
il problema è:

\( \displaystyle \text{Trovare }x,y \in \mathbb{N}\ \text{tali che }x^4+3x^2y^2+9y^4=12^{2006} \)

dopo le formalità, dedichiamoci al problema.

innanzitutto, conosci qualcosa sulle equazioni diofantee (ovvero le equazioni che come questa hanno incognite intere?)

[Slashino]

No, è la prima volta che le sento nominare. Non fanno parte dell apprendimento scolastico giusto? Comunque sono molto ma molto disposto a impare e capire..
ps: Mi scuso per il modo " barbaro " che ho usato per scrivere le formule!

[Luca.Lussardi]

Il polinomio a sinistra si scompone come $(x^2-3y^2)^2+(3xy)^2$; io proverei quindi a cercare di scrivere $12^{2006}$ come somma di quadrati...

[Steven]

Chiaro esercizio con cui bisogna avere un minimo di mano con i passaggi a discesa.
Soluzione:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Si verifica banalmente che \( \displaystyle (0,\pm3^{501}\cdot2^{1003}) \) sono soluzioni (quelle per cui \( \displaystyle x=0 \) )
Si vuole mostrare che sono uniche.
Il caso \( \displaystyle y=0 \) implica \( \displaystyle x^4=12^{2006} \implies x^2=12^{1003}=4^{1003}\cdot3^{1003} \) senza soluzione intera.

Sia il caso \( \displaystyle xy\not= 0 \)
\( \displaystyle x^4+3x^2y^2+9y^4=12^{2006}=9^{1003}\cdot16^{1003} \) da cui segue \( \displaystyle x,y \) entrambi pari.
Per cui
\( \displaystyle 16x_1^4+3\cdot4x_1^2\cdot4y_1^2+9\cdot16y_1^4=9^{1003}\cdot16^{1003} \)
avendo posto
\( \displaystyle x=2x_1 \) e \( \displaystyle y=2y_1 \)

Dividendo per 16, avendo posto \( \displaystyle x=2x_1 \) e \( \displaystyle y=2y_1 \)
\( \displaystyle x_1^4+3x_1^2y_1^2+9y_1^4=9^{1003}\cdot16^{1002} \) e con lo stesso ragionamento,
A discesa, mi ritrovo

\( \displaystyle a^4+3a^2b^2+9b^4=9^{1003} \) per quale \( \displaystyle a,b \) interi.
Vedo ora che \( \displaystyle 3|a \) e quindi \( \displaystyle a=3a_1 \)
Da ciò (sono due conti) seguirà che anche \( \displaystyle 3|y \) e, sempre a discesa, mi ritrovo, salvo sbadataggini,

\( \displaystyle s^4+3s^2t^2+9t^4=9 \) per qualche \( \displaystyle s,t\not=0 \) chiaramente assurda essendo il primo membro maggiore strettamente del secondo.

[Slashino]

ragazzi ho letto il procedimento ma non ho capito molto...qualcuno è disposto a spiegarlo in termini più semplici?

[dissonance]

[OT] Che significa "passaggi a discesa"? [/OT]

[luca.barletta]

[OT] Che significa "passaggi a discesa"? [/OT]

E' il principio della discesa infinita. Correggimi se sbaglio Steven.

[Steven]

Uhm, in realtà non penso che la dimostrazione da me usata sia proprio una discesa infinita.
Il procedimento è simile, ma l'assurdo deriva da una constatazione aritmetica e non dalla negazione dell'esistenza di minimo in $NN$.
Il termine "passaggio a discesa" l'ho coniato io al momento proprio pensando alla discesa infinita, l'idea è quella appunto di sostituzioni successive che mi diminuiscono progressivamente il secondo membro, ma non è un nome - che io sappia - ufficiale.

Slashino, in quale passaggio non ti è chiara?
Comunque se dici di non aver mai sentito parlare di eq. diofantee, forse è meglio che guardi qualcosa sul web a questo proposito.

[luca.barletta]

Sì, in effetti la conclusione del tuo ragionamento è diversa dalla discesa infinita, nonostante la somiglianza dei passaggi intermedi.