Questi sono tra i piu' bei problemi di carattere (quasi) elementare (che non vuol dire semplice) in cui si vede bene la potenza delle idee matematiche.
1) Dato un primo dispari \( \displaystyle p \) , i seguenti fatti sono equivalenti:
(a) \( \displaystyle p \) e' congruo a 1 modulo 4;
(b) \( \displaystyle -1 \) e' un quadrato in \( \displaystyle \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \) ;
(c) l'ideale \( \displaystyle p \mathbb{Z}[i] \) dell'anello \( \displaystyle \mathbb{Z}[i] := \mathbb{Z}[X]/(X^2+1) \) non e' primo (cioe' non e' massimale, ricordando che \( \displaystyle \mathbb{Z}[i] \) e' un P.I.D.).
2) I numeri primi congrui a 1 modulo 4 sono infiniti. (Senza usare il teorema di Dirichlet, ovviamente). (Usare il punto 1b).
3) Un numero primo dispari e' congruo a 1 modulo 4 se e solo se si puo' scrivere come somma di due quadrati. (Usare il punto 1c).
Non ho una "fonte" precisa, si tratta di risultati ben noti e reperibili su qualsiasi libro di teoria dei numeri.