Funzione derivabile su un intervallo

[Paolo90]

La questione che presento qui nasce da questo topic e da un successivo scambio di PM con dissonance.

Si pone il seguente

Problema. Data una funzione $f: (a,b) to RR$ derivabile su $(a,b)$, si può dire che $f(x)$ è monotona su qualche sottointervallo di $(a,b)$?

Ci si propone di dimostrare il fatto, se questo è vero; in caso contrario, si chiede di trovare le condizioni sufficienti (precisando se sono anche necessarie) affinchè lo sia.

Non abbiamo (io e dissonance) una soluzione, confidiamo nei vostri pareri e nel vostro aiuto.

Enjoy

[j18eos]

Se la funzione fosse non costante e la derivata fosse continua in un sub-intervallo l'asserto sarebbe vero, per il teorema della permanenza del segno!

In altre ipotesi bisogna indagare.

[Paolo90]

Esatto, j18eos. Questo è più o meno quanto siamo arrivati a "concludere" io e dissonance.

In realtà, basta un po' di meno che la continuità della derivata: è sufficiente chiedere che esista il limite (anche solo parziale, cioè solo da dx o solo da sx) della derivata in almeno un punto dell'intervallo (per via di un noto teorema sulla regolarità della funzione derivata).

Però non sappiamo se questo è corretto e soprattutto se è anche c.n... Se non esiste nemmeno il limite (parziale) della derivata in un punto, la funzione può comunque essere monotona?

[dissonance]

Questo risultato citato da Gugo

Ogni funzione monotona in \( \displaystyle [a,b] \) è derivabile q.o. (nel senso di Lebesgue) in \( \displaystyle [a,b] \) .

dovrebbe tornare utile.

(@Paolo: Quando parlavo di "ammennicoli teorici" che non conosciamo, mi riferivo proprio a qualcosa del genere. Certo chiamare "ammennicolo" un teoremone come questo mi pare un po' forte! )

[j18eos]

@Paolo90: Costantemente nulla = C.n.?

[Leonardo89]

è sufficiente chiedere che esista il limite (anche solo parziale, cioè solo da dx o solo da sx) della derivata in almeno un punto dell'intervallo (per via di un noto teorema sulla regolarità della funzione derivata).

Scusate se mi intrometto...
Se il limite è positivo o negativo l'ho capito ma se questo limite parziale è uguale a zero?
Piuttosto, il teorema sulla regolarità della funzione derivata sarebbe la proprietà di Darboux?

[dissonance]

@Paolo90: Costantemente nulla = C.n.?

Condizione necessaria.

Piuttosto, il teorema sulla regolarità della funzione derivata sarebbe la proprietà di Darboux?

@Leonardo: Proprio lui. Anche Paolo lo chiama così. Evidentemente io sono l'unico che non lo conosce con quel nome!!!

Comunque sul fatto del limite che fa zero mi sa che hai ragione. In quel caso non si riesce a concludere nulla, perché per quanto ne sappiamo la derivata potrebbe cambiare segno in ogni intorno e dunque monotonia ciao.

[Leonardo89]

Evidentemente io sono l'unico che non lo conosce con quel nome!!!

Si vede che non hai studiato sull'Acerbi Buttazzo!

Piuttosto, per derivabile q.o. (?quasi ovunque?) secondo Lebesgue intendi derivabile su tutto l'intervallo tranne che su un insieme di misura nulla?

[Paolo90]

Alcune considerazioni.

Anzitutto, grazie per le risposte.

Questo risultato citato da Gugo

Ogni funzione monotona in \( \displaystyle [a,b] \) è derivabile q.o. (nel senso di Lebesgue) in \( \displaystyle [a,b] \) .

dovrebbe tornare utile.

(@Paolo: Quando parlavo di "ammennicoli teorici" che non conosciamo, mi riferivo proprio a qualcosa del genere. Certo chiamare "ammennicolo" un teoremone come questo mi pare un po' forte! )

Ho visto il risultato di Gugo... se ho capito bene (non sono molto ferrato su teoria della misura) dice che una funzione monotona in un intervallo è derivabile su tutto l'intervallo tranne al più un sottoinsieme di misura (di Lebesgue) nulla. Giusto?

Se così è, bisognerebbe capire sotto quali ipotesi la proposizione si inverte.

Naturalmente, Leo, hai ragionissima, mi sono dimenticato di precisarlo: il limite deve esistere finito e non nullo.

Quanto alla questione del nome, be', ancora una volta c'è disaccordo: il mio prof chiamava questa proprietà di regolarità "proprietà di Darboux" della derivata; il mio libro di Analisi I invece non dava un nome a questo teorema, riservando la dicitura "di Darboux" al teorema secondo cui la funzione derivata di una funzione derivabile - pur non essendo necessariamente continua - assume, nell'intervallo $(a,b)$, tutti i valori compresi tra $f'(a)$ e $f'(b)$ (forse tu dissonance conosci questa versione dei fatti?).

[Leonardo89]

Forse sto facendo confusione...

il mio libro di Analisi I invece non dava un nome a questo teorema, riservando la dicitura "di Darboux" al teorema secondo cui la funzione derivata di una funzione derivabile - pur non essendo necessariamente continua - assume, nell'intervallo $(a,b)$, tutti i valori compresi tra $f'(a)$ e $f'(b)$ (forse tu dissonance conosci questa versione dei fatti?).

Paolo quando dici che il tuo libro non dava un nome a questo teorema a quale teorema ti riferisci?
Io pensavo ti riferissi a quello che il tuo libro chiama di Darboux...