Funzione derivabile su un intervallo

[Paolo90]

Scusami, Leo (posso chiamarti Leo? ), non avevo visto il tuo post di sopra.

Comunque, ti spiego com'era organizzato il mio libro di Analisi I (C. Trapani) su questa parte. Dopo tutto il capitolo sulle derivate, dopo i teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy presentava una pagina dal titolo "Proprietà della funzione derivata".

Per prima presentava questa proprietà, chiamandola di Darboux:
"La funzione derivata di una funzione derivabile - pur non essendo necessariamente continua - assume, nell'intervallo $(a,b)$, tutti i valori compresi tra $f'(a)$ e $f'(b)$"

Poi sotto, a mo' di corollario, presenta questo fatto:

Data una funzione $f$ continua in un aperto $I$ e derivabile in $I-{x_0}$ (con $x_0 in I$) se esiste $lim_(x to x_0^-) f'(x) = l_(-)$ allora $f_(-)'(x_0)=l_(-)$ e lo stesso per tutti gli altri casi (da destra e globalmente).

E questo il mio professore lo chiamava (creando non poca confusione) teorema di Darboux. In poche parole, l'ultimo fatto che ho scritto stabilisce che per la funzione derivata essere continua equivale ad avere limite.

Più chiaro ora?

[Leonardo89]

Ciao Paolo!
Certo che puoi chiamarmi Leo!
Quello che il tuo prof chiama teorema di Darboux l'Acerbi Buttazzo lo considera un corollario al teorema di De L'Hopital!

Comunque all'inizio non avevo pensato a questo per seguire il ragionamento tuo e di dissonance: avevo semplicemente considerato la definizione di limite applicata al limite della derivata.
Piuttosto: perché dici che il limite deve essere finito? Se anche il limite fosse infinito (ma con un segno determinato, non oscillante) otterrei comunque quello che mi serve: un intorno, quindi un intervallo, in cui la derivata è positiva (o negativa) e quindi la funzione è strettamente monotona.
Perché la derivata non può tendere all'infinito ai fini del problema?

[Paolo90]

Ciao Paolo!
Certo che puoi chiamarmi Leo!
Quello che il tuo prof chiama teorema di Darboux l'Acerbi Buttazzo lo considera un corollario al teorema di De L'Hopital!

Che allegro casino
Bello, non c'è un libro che è d'accordo con un altro: un classico, in Matematica

Comunque all'inizio non avevo pensato a questo per seguire il ragionamento tuo e di dissonance: avevo semplicemente considerato la definizione di limite applicata al limite della derivata.
Piuttosto: perché dici che il limite deve essere finito? Se anche il limite fosse infinito (ma con un segno determinato, non oscillante) otterrei comunque quello che mi serve: un intorno, quindi un intervallo, in cui la derivata è positiva (o negativa) e quindi la funzione è strettamente monotona.
Perché la derivata non può tendere all'infinito ai fini del problema?

Dunque:
1) anche noi (con dissonance) avevamo inizialmente considerato questo: $lim_(x to x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)=f'(x_0) = lim_(x to x_0) f'(x)$ dove l'ultima uguaglianza vale sse la derivata prima è continua. Tuttavia, per via del teorema di "non si sa chi" si può risparmiare un po' e basta chiedere la continuità parziale (basta che la derivata sia continua solo a destra o solo a sinistra)

2) la tua osservazione rientra nella questione sulle condizioni necessarie. Noi partiamo supponendo che la funzione sia derivabile in un intervallo (quindi la derivata non può andare all'infinito) e vogliamo capire se la $f$ è monotona in qualche sottointervallo.
Effettivamente il tuo ragionamento è corretto, dunque una funzione può benissimo essere monotona senza essere derivabile e avere derivata continua; anzi, una funzione può essere monotona in un intervallo senza essere nemmeno continua...

[Leonardo89]

Noi partiamo supponendo che la funzione sia derivabile in un intervallo (quindi la derivata non può andare all'infinito)

Ci ho ragionato un po' sopra ma non ho trovato né una dimostrazione né un controesempio.

Cioè una funzione derivabile in tutto un intervallo ha la derivata limitata nell'intervallo in questione?
Bada bene Paolo che non stiamo dicendo se la derivata può essere infinita in un punto dell'intervallo (ovviamente no perché la funzione è ivi derivabile) ma se la derivata può non essere limitata cioè se può tendere all'infinito in un punto dell'intervallo, per esempio.
La funzione esponenziale definita sulla retta reale potrebbe essere un possibile controesempio alla tua affermazione però cercavo una funzione la cui derivata tendesse all'infinito in un punto interno all'intervallo di definizione, in un punto finito, intendo.

O forse sono io che mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua...

[Paolo90]

Mah, forse sono io che sto affogando in una pozzanghera...

Secondo me, il tuo discorso va benissimo su un intervallo illimitato; voglio dire, se la funzione è derivabile su tutto un intervallo illimitato allora la derivata può non essere limitata (qualsiasi polinomio di grado maggiore o uguale al secondo oppure l'esponenziale fanno al caso nostro): questo mi pare corretto.

Però senti, considera un aperto limitato di $RR$, un intervallo $(a,b)$: se io dico la funzione $f$ è derivabile su tutto $(a,b)$ intendo dire che la funzione è derivabile in ogni punto $x_0 in (a,b)$: quindi (per definizione di derivata) esiste finito il limite del rapporto incrementale per ogni $x_0$.

Dunque come può la derivata essere non limitata in $(a,b)$? Se la derivata fosse non limitata in tale intervallo, allora avrei che va all'infinito in prossimità di un punto (chiamamolo $x'$): ma allora $f$ non è derivabile in $x'$.

O no?
Grazie per la tua partecipazione.

[dissonance]

Chi ha parlato di derivata limitata? E' facilissimo fabbricare esempi di funzioni derivabili in un intervallo aperto con la derivata non limitata: $\sqrt{x}$ su $(0, 1)$ per dirne una. Ma anche si possono trovare esempi su intervalli compatti (chiaramente la derivata non potrà in questi casi essere continua): il classico

$f(x)=\{(x^2 \sin (1/(x^2)), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$

dovrebbe funzionare.

[Paolo90]

Sapevo che stavo annegando in una pozzanghera. Scusate per la cantonata

[Leonardo89]

@dissonance
Mi era venuta in mente la radice quadrata ma io cercavo un esempio in cui, in un punto interno all'intervallo di definizione, la funzione fosse derivabile ma con derivata non limitata in un intorno del punto stesso, come il tuo secondo esempio, cioè. Il problema è che la derivata della funzione del tuo secondo esempio mi sembra limitata!
Cioè
$f'(x)=\{(2x \sin (1/x) - \cos(1/x), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$
Basta applicare la disuguaglianza triangolare per vedere che questa derivata è limitata in $[-1,1].

@Paolo
Grazie a te per aver iniziato la discussione e per aver fatto venir fuori queste questioni!
E a proposito di cantonate, se tu sapessi cosa fui capace di dire io al mio primo orale di analisi 1! Meglio che taccia!

EDIT: giusto per chiarezza per chi leggerà in futuro questo topic la derivata di cui sopra si riferisce alla funzione
$f(x)=\{(x^2 \sin (1/(x)), x!=0), (0, x=0):},\ x \in [-1, 1]$

[dissonance]

Hai ragione Leo. Ho ritoccato l'esempio, adesso dovrebbe andare. Se hai tempo e voglia puoi fare tu le verifiche del caso, per favore? Io purtroppo ho molto da fare...

[Leonardo89]

Splendida funzione, dissonance, adesso funziona perfettamente!