) torno a scrivere, sperando di non dire più scemenze.
Dunque dunque, ricapitoliamo un attimo. Siamo partiti chiedendoci:
"Una funzione derivabile in un intervallo è monotona in qualche sottointervallo?"
Siamo arrivati a affermare quanto segue:
- 1. se la derivata è continua, il teorema è vero e la dimostrazione si basa sul teorema di permanenza del segno;
- 2. se la derivata non è continua ma esiste non nullo il limite (anche solo parziale) in almeno un punto dell'intervallo, allora la tesi vale ancora, sempre per il teorema della permanenza del segno; notare che il limite può anche essere infinito, basta non sia nullo;
- 3. se la derivata non è continua e non ammette limite in nessun punto dell'intervallo, non si può concludere nulla: questa affermazione è da controllare, perchè probabilmente ci manca qualche teorema di Analisi, magari non molto noto;
Per quanto concerne l'implicazione inversa, siamo arrivati a concludere quanto segue:
- 1bis. la monotonia non implica "in senso stretto" la derivabilità (una funzione può essere monotona in un intervallo senza nemmeno essere ivi continua);
- 2bis. d'altra parte, però, vale il risultato citato da Gugo: una funzione monotona in un intervallo è derivabile quasi ovunque (nel senso di Lebesgue) su tale intervallo.
Che ne dite? Ho detto di nuovo qualche bestialità?
