[Disuguaglianza] Polinomi... Che passione!

[Mathematico]

Sia \( \displaystyle q\in \mathbb{R}^+[x] \) di grado \( \displaystyle n \) . Se \( \displaystyle q(1)\ge1 \) allora \( \displaystyle \forall x\in (0, +\infty) \) si ha che \( \displaystyle q\left(\frac{1}{x}\right)\ge \frac{1}{q(x)} \)

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Esercizio arrivatomi via e-mail. Ho una soluzione, ma credo che una sola sia insufficiente. Ovviamente buon divertimento!!

[Rigel]

Per non saper né leggere né scrivere, faccio barbaramente il primo conto algebrico che mi viene in mente.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Poniamo $q(x) = \sum_{j=0}^n a_j x^j$; abbiamo che
$q(x) q(\frac{1}{x}) = (a_0^2 + \ldots + a_n^2) + (a_0 a_1 + a_1 a_2 + \ldots + a_{n-1} a_n) (x+\frac{1}{x}) + (a_0 a_2 + \ldots + a_{n-2}a_n) (x^2+\frac{1}{x^2}) + \cdots + a_0 a_n (x^n + \frac{1}{x^n})$.
Osserviamo che $\min_{x>0} (x^j + \frac{1}{x^j}) = 2$ per ogni $j$ (il min è raggiunto per $x=1$); di conseguenza, essendo i coefficienti positivi,
$q(x) q(\frac{1}{x}) \ge (a_0^2 + \ldots + a_n^2) + 2 (a_0 a_1 + a_1 a_2 + \ldots + a_{n-1} a_n) + 2 (a_0 a_2 + \ldots + a_{n-2}a_n) + \cdots + 2 a_0 a_n = (a_0+\ldots +a_n)^2 = q(1)^2 \ge 1$.

[Gaussman]

praticamente rigel ha senza (forse) saperlo dato una dimostrazione che si estende a un caso più generale di questo tipo di disuguaglianza, che applicata in questo caso porta subito alla soluzione:

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disuguaglianza di cauchy-schwarz

[Mathematico]

Per non saper né leggere né scrivere, faccio barbaramente il primo conto algebrico che mi viene in mente.

Sai leggere perchè altrimenti non avresti potuto rispondere al quesito, sai scrivere e ci tieni all'italiano, hai scritto né con l'accento acuto...

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Poniamo $q(x) = \sum_{j=0}^n a_j x^j$; abbiamo che
$q(x) q(\frac{1}{x}) = (a_0^2 + \ldots + a_n^2) + (a_0 a_1 + a_1 a_2 + \ldots + a_{n-1} a_n) (x+\frac{1}{x}) + (a_0 a_2 + \ldots + a_{n-2}a_n) (x^2+\frac{1}{x^2}) + \cdots + a_0 a_n (x^n + \frac{1}{x^n})$.
Osserviamo che $\min_{x>0} (x^j + \frac{1}{x^j}) = 2$ per ogni $j$ (il min è raggiunto per $x=1$); di conseguenza, essendo i coefficienti positivi,
$q(x) q(\frac{1}{x}) \ge (a_0^2 + \ldots + a_n^2) + 2 (a_0 a_1 + a_1 a_2 + \ldots + a_{n-1} a_n) + 2 (a_0 a_2 + \ldots + a_{n-2}a_n) + \cdots + 2 a_0 a_n = (a_0+\ldots +a_n)^2 = q(1)^2 \ge 1$.

.... e sai far di conto . Risposta esatta e uguale alla mia.

@ Gaussman: scrivi la soluzione . So che è giusta, è la seconda dimostrazione che avevo ed è quella meno barbara che c'è.
Se ne avete altre, anche più barbare di quella di Rigel, non fatevi problemi

P.S: Ho l'impressione che l'esercizio fosse più banale di quanto pensassi, se i moderatori/amministratori avessero l'intenzione di spostare questo 3D in qualche altra sezione, io non mi oppongo

[Rigel]

D'accordo, proviamo anche con la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Sia $Q(x) := (\sqrt{a_0}, \sqrt{a_1 x}, \ldots, \sqrt{a_n x^n})\in R^{n+1}$.
In questo modo $q(x) = Q(x)\cdot Q(x) = ||Q(x)||^2$ per ogni $x>0$.
A questo punto
$1 \le q(1)^2 = [Q(x)\cdot Q(1/x)]^2 \le ||Q(x)||^2\ ||Q(1/x)||^2 = q(x) q(1/x)$ per ogni $x>0$.

[Mathematico]

$"Complimenti"^2$ Rigel!

[legendre]

Non ci capisco molto di matematica ma devo dire che questo Rigel e' una bestia feroce in tale materia!Divori tutte le dimostrazioni!Sei un leone che
non lascia gli avanzi alle povere iene

[j18eos]

...Sei un leone che non lascia gli avanzi alle povere iene

Veramente ci si può cimentare a trovare altre dimostrazioni.

[legendre]

@Armando
Si lo so .Bisogna ammetterlo che e' bravo .Poverino anche te sei bravo.Se avessi gli strumenti lo farei anch'io ma ci devo prima sbattere un po'
Forse Rigel Redbull e mette le

[Mathematico]

@Armando
Si lo so .Bisogna ammetterlo che e' bravo .Poverino anche te sei bravo.Se avessi gli strumenti lo farei anch'io ma ci devo prima sbattere un po'
Forse Rigel Redbull e mette le

Anch'io penso che Rigel si possa annoverare tra i più bravi del forum. Ha un'ottima preparazione e soprattutto ha un occhio molto allenato. Seguo ogni suo intervento sperando di raggiungere la sua bravura!

Seguo con interesse anche i post di gugo e dissonance, sono un loro ammiratore segreto... Ok ora mi denunceranno per stalking