Convergenza di una topologia e non.

[fu^2]

Un simpatico esercizio sulle convergenze: questa sera mi sento in vena di proporlo a tutti un esercizio che a leggerlo sembra ovvio, ma metterlo nero su bianco causa/potrebbe causare qualche difficoltà...

Definizione:
"Diciamo che una successione \( \displaystyle \{x_n\} \) in \( \displaystyle X \) spazio topologico converge ad un punto \( \displaystyle \bar{x}\in X \) se per ogni intorno \( \displaystyle U_{\bar{x}} \) esiste un intero $n$ tale che $j>n$ implice che \( \displaystyle x_j\in U_{\bar{x}} \) .

In tal caso scriviamo $\lim x_n=\bar{x}$."

Definizione:
"Sia \( \displaystyle f_n:(X,\Sigma, \mu) \to \mathbb{R} \) una successione di funzioni misurabili misurabili, allora diciamo che $f_n$ converge quasi ovunque ($\mu$-q.o.) a $f$ se \( \displaystyle \mu(\{f_n\nrightarrow f\})=0 \)

Bene! allora dimostrare che la nozione di convergenza quasi ovunque (q.o.) non è indotta da nessuna topologia sullo spazio.
Ovvero non esiste una topologia in cui la convergenza indotta sia quella data dalla convergenza q.o.

[Fioravante Patrone]

Se $X$ è finito e prendiamo la misura che conta, mi sa che una topo c'è
Saluti dalla galleria di Ronco Scrivia!

[fu^2]

giusto... non ho pensato a quello

In verità il problema nella sua forumulazione originaria era su $RR^n$ con la misura di Lebesgue, io ho pensato (troppo ingenuamente) di metterlo in una forma più generale

Dunque ristringendoci a $RR^n$ con la misura di Lebesgue rilancio il problema

[dissonance]

Secondo me è vero ogni volta che lo spazio di misura non si riduce ad un numero finito di atomi.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Per quanto riguarda la risposta nel caso $n=1$ si può fornire questo controesempio, che però, devo confessare, non mi sono inventato, ma è stato fornito durante un corso universitario. Si tratta di una successione di funzioni $[0, 1] \to [0, 1]$ dal nome suggestivo: typewriter.

Questa successione di funzioni converge a $0$ nel senso di $L^1([0, 1])$. Allora ogni estratta converge a $0$ nel senso di $L^1([0, 1])$ e in particolare ha una sotto-estratta convergente puntualmente a $0$. Un lemma topologico (qui dimostrato da Jerome) assicura che, in uno spazio topologico, una successione tale che ogni estratta ha a sua volta una estratta convergente ad un limite uguale per tutte è essa stessa convergente a questo limite. Dunque se la convergenza puntuale q.o. fosse indotta da una topologia la successione typewriter dovrebbe essere puntualmente convergente q.o. alla funzione nulla, il che è falso.

Osserviamo che, al contrario, la convergenza puntuale ovunque è indotta da una topologia.