Generalizzazione della disuguaglianza di Holder

[fu^2]

Un problema già proposto in passato (se ben ricordo) da Gugo82 nella sezione "english corner", ma che se ben ricordo fini in un nulla di fatto (cioè nessuno fornì una dimostrazione completa).
Dunque lo ripropongo (la soluzione è mia e la posseggo )

"Siano $p_1,...,p_n\in [1,+\infty]$ tali che $\sum_{i=1}^n 1/p_i=1/p<=1$.

Siano $f_1,...,f_n$ funzioni misurabili tali che $f_i\in L^{p_i}(\Omega)$ ove $\Omega\subset RR^n$ aperto.

Allora $\prod_{i=1}^n f_i\in L^p(\Omega)$ e vale $||\prod_{i=1}^n f_i ||_p <=\prod_{i=1}^n ||f_i||_{p_i}$, dove $||f_i||_{p_i}=(\int_{\Omega}|f_i|^{p_i})^{1/p_i}$"


(Ovviamente vale la convenzione che se $p_i=+\infty$ allora poniamo $1/p_i=0$.

[gugo82]

In realtà, fu^2, come sai non mi piace lasciare problemi in sospeso... :wink:

(Caccia al tesoro: dove sarà mai il link alla soluzione?)

[fu^2]

chissà dov'era ... eheheh

comunque noto che nel mio esercizio c'è una piccola variante rispetto a quello proposto in passato da te, la dimostrazione cambia poco, però nei calcoli è molto interessante

[fu^2]

propongo un corollario di questa generalizzazione della disugualgianza di Holder (ho la soluzione anche di questo fatto)

Sia $r\in [q,p]$ ed $u\in L^p(\Omega)\cap L^q(\Omega)$ allora $u\in L^r(\Omega)$ e vale

$(\int_{\Omega}|u|^r)^{1/r}<=(\int_{\Omega}|u|^p)^{\theta/p}(\int_{\Omega}|u|^q)^{(1-\theta)/q}$


dove $1/r=\theta/p+(1-\theta)/q$