Solitario del carcerato ancora senza soluzione- by whiles

[lukul]

Sposto qui un problema proposto da whiles nella zezione statistica, che, a dispetto della sua apparente semplicità, ad oggi non ha ottenuto alcuna risposta.
Confido possiate fornirne una plausibile e magari solo dopo spostarlo in una sezione diversa . Grazie
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Ciao ragazzi,
ho un piccolo problema di statistica che probabilmente per voi è banale ma a me tormenta da un sacco di tempo

Praticamente c'è un gioco di carte, basato completamente sulla casualità, chiamato il solitario del carcerato. Praticamente si prende il mazzo di carte napoletane, si mischia ed ad una ad una si girano le carte dicendo il numero uno per la prima carta, due per la seconda, tre per la terza, e poi ricominciando: uno per la quarta, due per la quinta.. insomma.. uno due tre, uno due tre, uno due tre.. e così via (spero di essere stato chiaro!).
Se la carta che si sta girando ha il valore del numero che si sta pronunciando, il solitario viene perso, insomma, insomma, non bisogna azzeccare nessun numero.
Ho provato a calcolare con metodi ripetitivi e semplici per ogni operazione ma farlo per 40 carte è veramente un'impresa.

Avete idea di come fare per calcolare la probabilità di vincita di questo strano solitario?

Grazie mille, vi seguo da tempo senza scrivere niente e devo dire che da questo forum c'è un sacco da imparare

[dissonance]

[mod="dissonance"]Intanto ho eliminato due terzi di quella sfilza di trattini, che rendevano difficile la lettura a risoluzioni più basse, perché obbligavano allo scroll orizzontale. Cerca di evitarli, in futuro. Grazie.[/mod]

[lukul]

Questioni grafiche a parte , qualcuno ha una soluzione?

[dissonance]

Hai postato da meno di un'ora e vuoi già la soluzione? Dai tempo.

[lukul]

Iniziamo a formalizzare un pochetto il problema. che se no resta troppo nel vago:

Il mazzo di carte napoletane si compone di N=40 carte ripartite in 4 classi a seconda del seme di appartenenza (denari, bastoni, coppe e spade).
Associamo a ciascuna di queste carte un valore numerico.

A ciscuno dei 4 re ( di denari, bastoni, coppe , spade) rispettivamente si associ il valore 0.
A ciscuno dei 4 cavalieri ( di denari, bastoni, coppe, spade) rispettivamente si associ il valore 9.
A ciscuno dei 4 fanti ( di denari, bastoni, coppe, spade) rispettivamente si associ il valore 8.
E poi a ciascuna classe di carte contenente n simboli grafici (denari, bastoni, coppe o spade) si associ il valore n.

L'insieme totale delle 40 carte è formato da 10 classi ciascuna delle quali sarà costituita da 4 oggetti (carte) a cui sarà associato lo stesso valore (compreso tra 0 a 9). .4 oggetti cui è associato il valore numerico 0 (i 4 re), 4 oggetti cui è associato il valore numerico 9 ( i 4 cavalieri), e così via.

[Rggb]

Ci avevo già pensato quando era in "Statistica" ma l'avevo lasciata nel limbo del cervello . Visto che lo riproponete:

- Considero le disposizioni totali di 40 carte, ovviamente sono $40!$.

- Identifico le "posizioni" A-2-3-A-2-3..." ottenendo quindi 14 posizioni per "A", 13 per "2" e 13 per "3".

- Calcolo le disposizioni delle carte non-asso nelle posizioni A, sono 36 carte (40 meno gli assi) ovvero $D(36,14)$

- Idem, delle carte non-due nelle posizioni 2, sono 36 carte (40 meno i due) ovvero $D(36, 13)$

- Idem, delle carte non-tre nelle posizioni 3, $D(36, 13)$

- Ottengo il totale delle disposizioni moltiplicando questi tre fattori $T=D(36, 14)*D(36, 13)*D(36,13)$ e quindi la probabilità cercata.

Primo problema: togliere i doppioni. Ci stavo pensando, ma non sono riuscito a trovare un metodo semplice (anche se a naso direi c'è). Inoltre credo si possa anche calcolare con le combinazioni.

Edit: corretto un errore di spiegazione.

[lukul]

Non riesco a capire il punto 2. Potresti esplicitarlo meglio? Come fanno ad esserci solo 14 posizioni per 4 assi in un mazzo da 40 carte? Le carte sono mischiate, per cui 4 assi li puoi avere in molte più posizioni rispetto alle 14 che supponi.

[Rggb]

Probabilmente mi sono spiegato male, cercherò di essere più chiaro (vedo anche che ho fatto un errore, dopo vado a correggere).

Quando mischi un mazzo di 40 carte, ottieni uno dei possibili $M=40!$ modi di disporre le carte. Affinché il solitario riesca, la prima non deve essere asso, la seconda due, la terza tre, la quarta asso e così via fino all'ultima, quindi la tua disposizione è del tipo
- non asso, non due, non tre, non asso, non due, non tre...
per tutte le quaranta carte. Identifichiamo queste posizioni con i simboli A, 2, 3 e mettiamole in fila, otteniamo
A23A23A23A23A23A23A23A23A23A23A23A23A23A
dove in ogni A ci possono andare tutte le carte possibili tranne l'asso, analogamente per ogni 2 e 3.

Quindi calcolo in quanti modi posso disporre le carte non asso in posizione A, che sono $D(36, 14)$, le carte non due in posizione 2, che sono $D(36, 13)$ e le carte non tre in posizione 3, che sono $D(36, 13)$

Poi moltiplico queste disposizioni fra loro per trovare quelle totali. Devo comunque togliere i doppioni, work in progress.

[markowitz]

Perché togliere questa domanda dalla sezione probabilità e statistica ?

Comunque provo a dare uno spunto
direi che possiamo definire con
$E_1$=prob. che la prima carta sia un asso
$E_2$=prob. che la seconda sia un due
$E_3$=prob. che la terza sia un tre
fermandoci alle prime tre vogliamo trovare la prob. di perdere il solitario
$P(E_1uuE_2uuE_3)$
se generalizziamo a tutte le carte vogliamo
$P(E_1uu...uuE_40)$

suppongo che per risolvere ci sia da applicare
http://it.wikipedia.org/wiki/Principio_ ... esclusione

buona fortuna

EDIT c'erano dei "non" di troppo e non solo

[Rggb]

Comunque provo a dare uno spunto
direi che possiamo definire con
$E_1$=prob. che la prima carta non sia un asso
$E_2$=prob. che la seconda non sia un due
$E_3$=prob. che la terza non sia un tre
fermandoci alle prime tre vogliamo trovare la prob dell'evento congiunto
$P(E_1uuE_2uuE_3)
se generalizziamo a tutte le carte vogliamo
$P(E_1uu...uuE_40)$

Mi sembra più semplice il mio approccio; comunque hai provato?