Estensioni non semplici

[maurer]

Un problemino interessante, nato a seguito di una discussione con il docente di Teoria dei Campi e risolto da me ed un mio amico. Lo propongo perché lo ritengo abbastanza istruttivo, se poi è un fatto universalmente noto, pazienza.

Esercizio. Trovare un'estensione (di campi) \( \displaystyle F \subseteq K \) finita ma non semplice.

[Martino]

L'altro giorno stavo pensando all'estensione \( \displaystyle \mathbb{F}_p(x^p,y^p) \subset \mathbb{F}_p(x,y) \) , ma devo ancora capire come si fa a trovare argomenti per la non-semplicita'..

[maurer]

L'esempio è quello giusto, vi lascio il gusto di dimostrare che non può essere semplice (non è nulla di complicato).

[Paolo90]

Trovato, eccolo qui

L'altro giorno stavo pensando all'estensione \( \displaystyle \mathbb{F}_p(x^p,y^p) \subset \mathbb{F}_p(x,y) \) , ma devo ancora capire come si fa a trovare argomenti per la non-semplicità.

La prendo un po' alla lontana, che non mi fa male. Mi serve il seguente

Lemma. Sia $A$ un anello commutativo unitario (in cui \( \displaystyle 1 \neq 0 \) ) e integro. Allora in $A[X]$, $X-a$ è un elemento primo, per ogni $a in A$.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Dim. Si tratta di usare bene un po' di Algebra elementare e qualche proprietà dei quozienti di anelli. Consideriamo \( \displaystyle \phi_{a}: A[X] \to A \) il consueto omomorfismo valutazione in \( \displaystyle a \) : \( \displaystyle p(X) \mapsto p(a) \) . E' lasciata al volenteroso lettore la verifica che trattasi di omomorfismo di anelli. Inoltre, è suriettivo perchè ogni elemento di $w \in A$ è immagine mediante \( \displaystyle \phi_{a} \) del polinomio costante $q(X)=w$. Inoltre, \( \displaystyle \ker \phi_{a} \) è l'insieme dei polinomi che si annullano in $a$; per il teorema del resto, si deve dunque avere \( \displaystyle \ker \phi_{a} = (X-a) \) . Per il teorema fondamentale, abbiamo che \( \displaystyle \frac{A[X]}{(X-a)} \cong A \) . Ma $A$ è integro per ipotesi, dunque \( \displaystyle (X-a) \) è primo e quindi anche \( \displaystyle X-a \) è primo. \( \displaystyle \square \)

Dovremmo avere ora tutti gli strumenti. L'idea è quella di Martino: consideriamo l'estensione \( \displaystyle \mathbb{F}_p(x^p,y^p) \subset \mathbb{F}_p(x,y) \) e mostriamo che \( \displaystyle [\mathbb{F}_p(x,y) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p^{2} \) .

Dal Lemma, abbiamo che l'elemento $x^{p}$ è primo in $\mathbb{F}_p[x^p,y^p]$: per il ben noto criterio di Eisenstein, il polinomio
\( \displaystyle T^p - x^p \in \mathbb{F}_{p}(x^{p}, y^{p})[T] \) è irriducibile; avendo $x$ come zero, ne segue che è il suo polinomio minimo su \( \displaystyle \mathbb{F}_p(x^p,y^p) \) . Abbiamo quindi dimostrato che \( \displaystyle [\mathbb{F}_p(x) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p \) . Analogamente si conclude per $y^{p}$: dalla formula dei gradi, si ha il risultato voluto, cioè \( \displaystyle [\mathbb{F}_p(x,y) :\mathbb{F}_p(x^p,y^p)]=p^{2} \) .

Dunque l'estensione è finita. Notiamo per inciso che non è separabile, giacché il polinomio minimo $T^p-x^p$ ha radici multiple. Ora dobbiamo mostrare che non può esistere un elemento primitivo per questa estensione, cioè che non riusciamo a trovare $\alpha \in \mathbb{F}_p(x,y)$ tale che $\mathbb{F}_p(x,y)=\mathbb{F}_p(x^p,y^p)(\alpha)$.

Se $\alpha \in \mathbb{F}_p(x,y)$, allora è della forma $\alpha= \frac{f(x,y)}{g(x,y)}$, con $f,g$ polinomi a coefficienti in $\mathbb{F}_p$ ($g$ non nullo). Calcoliamo $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p$ e prepariamoci alla sorpresa: tenendo conto da una parte del piccolo teorema di Fermat, dall'altra che in caratteristica $p$ succede che $(x+y)^p=x^p+y^p$, si ha $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p = \frac{f(x^p,y^p)}{g(x^p,y^p)} \in \mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ (confermate?).

Ma allora abbiamo finito: ogni elemento di $\mathbb{F}_p(x,y)$ ha al più grado $p$ su $\mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ e, dunque, non può generare tutta l'estensione.

Che cosa ne dite? Spero di non aver detto scemenze; in tal caso, abbiate pietà, non ho mai seguito un corso di Teoria dei Campi

Grazie per eventuali pareri

[maurer]

Se $\alpha \in \mathbb{F}_p(x,y)$, allora è della forma $\alpha= \frac{f(x,y)}{g(x,y)}$, con $f,g$ polinomi a coefficienti in $\mathbb{F}_p$ ($g$ non nullo). Calcoliamo $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p$ e prepariamoci alla sorpresa: tenendo conto da una parte del piccolo teorema di Fermat, dall'altra che in caratteristica $p$ succede che $(x+y)^p=x^p+y^p$, si ha $alpha^{p}=( \frac{f(x,y)}{g(x,y)})^p = \frac{f(x^p,y^p)}{g(x^p,y^p)} \in \mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ (confermate?).

Confermo, confermo!

Ma allora abbiamo finito: ogni elemento di $\mathbb{F}_p(x,y)$ ha al più grado $p$ su $\mathbb{F}_p(x^p,y^p)$ e, dunque, non può generare tutta l'estensione.

Perfetto!

[Martino]

Figo