Propongo una dimostrazione topologica del teorema fondamentale dell'algebra (TFA).
Le sole cose usate sono il teorema di Ruffini e il teorema di inversione locale.
Mi piace questa dimostrazione perche' traduce la chiusura algebrica in una proprieta' topologica (la connessione di un sottospazio ottenuto togliendo un numero finito di punti).
Nel seguito \( \displaystyle \mathbb{C} \) sara' dotato della topologia usuale.
TFA (1). Ogni polinomio non costante \( \displaystyle P(x) \in \mathbb{C}[X] \) ha almeno uno zero complesso.
Equivalentemente:
TFA (2). Se \( \displaystyle P(x) \in \mathbb{C}[X] \) e' un polinomio non costante allora la funzione \( \displaystyle f_P:\mathbb{C} \to \mathbb{C} \) , \( \displaystyle z \mapsto P(z) \) e' suriettiva.
Che TFA(2) implichi TFA(1) e' ovvio, basta prendere una controimmagine di zero.
Per mostrare che TFA(1) implica TFA(2), dato \( \displaystyle c \in \mathbb{C} \) basta trovare \( \displaystyle z \in \mathbb{C} \) tale che \( \displaystyle P(z)=c \) , cioe' uno zero del polinomio \( \displaystyle P(x)-c \) , che esiste per TFA(1).
Dimostriamo il TFA(2).
Osserviamo che la derivata di \( \displaystyle f_P \) e' anch'essa una funzione polinomiale (in altre parole la derivata di \( \displaystyle P \) e' anch'essa un polinomio), e non e' identicamente nulla perche' \( \displaystyle P \) non e' costante.
Definiamo \( \displaystyle B:=\{z \in \mathbb{C}\ |\ P'(z)=0\} \) . \( \displaystyle B \) e' un insieme finito perche' consiste degli zeri di un polinomio non nullo (per il teorema di Ruffini, per esempio).
Definiamo \( \displaystyle A:=P^{-1}(P(B)) = \{z \in \mathbb{C}\ |\ P(z) \in P(B)\} \) . \( \displaystyle A \) consiste degli zeri di una famiglia finita di polinomi, quindi anche \( \displaystyle A \) e' finito. Inoltre \( \displaystyle B \subseteq A \) .
Definiamo \( \displaystyle g_P : \mathbb{C}-A \to \mathbb{C}-P(B) \) tramite la posizione \( \displaystyle g_P(z) := P(z) \) .
Per concludere basta mostrare che \( \displaystyle g_P \) e' suriettiva.
Lemma. \( \displaystyle \lim_{|z| \to +\infty} |P(z)| = +\infty \) .
Dimostrazione. Basta raccogliere il termine di grado massimo e il limite diventa banale.
Corollario. \( \displaystyle f_P \) manda chiusi in chiusi.
Dimostrazione. Sia \( \displaystyle C \) un chiuso di \( \displaystyle \mathbb{C} \) . Per mostrare che \( \displaystyle P(C) \) e' chiuso basta mostrare che contiene i suoi punti di accumulazione. Prendiamo \( \displaystyle w \in \mathbb{C} \) di accumulazione per \( \displaystyle P(C) \) e prendiamo una successione \( \displaystyle (P(a_n))_n \) in \( \displaystyle P(C) \) (dove \( \displaystyle a_n \in C \) per ogni \( \displaystyle n \) ) che converge a \( \displaystyle w \) . Per il lemma, la successione \( \displaystyle (a_n)_n \) (contenuta in \( \displaystyle C \) ) dev'essere limitata. In particolare ammette una sottosuccessione convergente \( \displaystyle (a_{t_n})_n \) , chiamiamo \( \displaystyle a \) il suo limite. Chiaramente \( \displaystyle a \in C \) dato che \( \displaystyle C \) e' chiuso. Per la continuita' di \( \displaystyle P \) deve accadere che \( \displaystyle P(C) \ni P(a) = \lim_{n \to \infty} P(a_{t_n}) = w \) . []
In particolare \( \displaystyle f_P(\mathbb{C}) \) e' chiuso in \( \displaystyle \mathbb{C} \) , quindi \( \displaystyle g_P(\mathbb{C}-A) = f_P(\mathbb{C}-A) = f_P(\mathbb{C})-P(B) \) e' chiuso in \( \displaystyle \mathbb{C}-P(B) \) . D'altra parte per costruzione \( \displaystyle g_P \) ha derivata ovunque diversa da zero, quindi (per il teorema di inversione locale) localmente manda aperti in aperti, quindi manda aperti in aperti.
Ne segue che \( \displaystyle g_P(\mathbb{C}-A) \) e' sia chiuso che aperto in \( \displaystyle \mathbb{C}-P(B) \) . Ma \( \displaystyle \mathbb{C}-P(B) \) , ottenuto togliendo da un piano un numero finito di punti, e' connesso (cosa che non accade in \( \displaystyle \mathbb{R} \) : se si toglie un punto a una retta la si disconnette), cioe' non ammette chiusaperti non vuoti e in particolare \( \displaystyle g_P(\mathbb{C}-A) = \mathbb{C}-P(B) \) .
Fonte.