Martino ha scritto:Ho il forte sospetto che \( \displaystyle \mathcal{G}_5^{\ast}=\emptyset \)
un mio amico ha pensato a $ZZ_2xxZZ_4$, ha 5 sottogruppi propri; ho pensato di dirtelo nel caso non ti fosse piu venuto in mente
Martino ha scritto:Ho il forte sospetto che \( \displaystyle \mathcal{G}_5^{\ast}=\emptyset \)
\( \displaystyle \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_4 \) ha sei sottogruppi propri non banali (quindi in totale otto sottogruppi), non cinque. Ci sono infatti tre sottogruppi di ordine 2, due sottogruppi ciclici di ordine 4 e un sottogruppo isomorfo a \( \displaystyle \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \) .paolo.papadia ha scritto:un mio amico ha pensato a $ZZ_2xxZZ_4$, ha 5 sottogruppi propri; ho pensato di dirtelo nel caso non ti fosse piu venuto in mente
Questa è una domanda interessante!paolo.papadia ha scritto:a questo punto viene da chiedersi quali siano questi n,se sono finiti o infiniti.. ma questo mi sembra molto difficile da controllare
Martino ha scritto:Martino ha scritto:2. Per mostrare che \( \displaystyle G \) è finito basta trovare un sottogruppo proprio \( \displaystyle H \) di indice finito, dato che in questo caso questo sottogruppo avendo meno di \( \displaystyle n \) sottogruppi propri non banali è finito per ipotesi induttiva e \( \displaystyle |G|=|G:H| \cdot |H| \) . Chiamiamo \( \displaystyle H_1,...,H_n \) i sottogruppi propri non banali di \( \displaystyle G \) . Osserviamo che se un \( \displaystyle H_i \) è normale allora ha indice finito per ipotesi induttiva (dato che \( \displaystyle G/H_i \in \mathcal{G}_m \) per qualche \( \displaystyle m < n \) ). Possiamo quindi supporre che \( \displaystyle H_1,...,H_n \) non siano normali, in particolare \( \displaystyle G \) agisce (per coniugio) in modo non banale su \( \displaystyle \{H_1,...,H_n\} \) , e tale azione è fedele dato che l'unico sottogruppo normale proprio di \( \displaystyle G \) è \( \displaystyle \{1\} \) . In particolare \( \displaystyle G \) si immerge in \( \displaystyle \text{Sym}(n) \) quindi è finito.
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