Irrazionalità di $sum_(n=0)^infty 1/(2^(2^n))$

[Mistral]

.

[karl]

Voglio fare lo "sborone",anche se sono ...leggermente piu' grande di karl23.
Ragiono per assurdo e pongo (a e b interi):
$a/b=1/(2^(2^0))+1/(2^(2^1)) +1/(2^(2^2))+...+1/(2^(2^(n-1))) +1/(2^(2^n))+1/(2^(2^(n+1)))+1/(2^(2^(n+2)))+....$
Moltiplichiamo il tutto per $2^(2^n)*b$:
$2^(2^n)*a-b(2^(2^n-2^0)+2^(2^n-2^1)+...+2^(2^n-2^(n-1))+1)=1/(2^(2^(n+1)-2^n))+1/(2^(2^(n+2)-2^n))+1/(2^(2^(n+3)-2^n))+1/(2^(2^(n+4)-2^n))+ 1/(2^(2^(n+5)-2^n))+............$
Per semplicita' indichiamo con c il primo membro di quest'ultima diseguaglianza:
$c=1/(2^(2^n*1))+1/(2^(2^n*3))+1/(2^(2^n*7))+1/(2^(2^n*15))+1/(2^(2^n*31))+.....$
Ora e' certamente:
$|c|<1/(2^(2^n*1))+1/(2^(2^n*3))+1/(2^(2^n*5))+1/(2^(2^n*7))+1/(2^(2^n*9))+ ....=1/(2^(2^n)-1)$
da cui si vede che mentre il primo membro e' un intero il secondo membro si puo' rendere piccolo quando si vuole al crescere di n.
Archimede.

[TomSawyer]

karl23.

.

[TomSawyer]

Si, si vi faremo sapere...

Il problema più difficile sarebbe dimostrare che

$sum_(n=1)^infty 1/(2^n-1)$

è irrazionale, non ci sono riuscito. Qualcuno ha qualche idea in proposito?

Non basterebbe dimostrare che $sum_(m=1)^infty sum_(n=1)^infty 1/(2^n)^m$ è irrazionale, dato che $1/(n-1)= sum_(i=1)^infty 1/(n)^i$? l'n nella seconda è un numero qualsiasi.

[wedge]

karl23.

.

carlo23 è karl ????? (non capisco)

[karl]

Per Wedge e Crook.
Ho scritto karl23 per fare un complimento a carlo23 accostandolo,per ora nel nome
in seguito chissa',a Karl Friedrich Gauss.
Niente messaggi subliminali,quindi !
Il karl a cui vi riferite e' un "mitico" (sic!!!) forumista di matematicamente di cui
certamente qualcuno si ricordera' .....
Archie

[Nidhogg]

Come dimenticare il grande karl. Purtroppo è da molto che ha deciso non frequentare più questo forum. Peccato!

[wedge]

Il karl a cui vi riferite e' un "mitico" (sic!!!) forumista di matematicamente di cui
certamente qualcuno si ricordera' .....

certo, ricordiamo con nostalgia

[antonio89x]

Scusatemi, ma chi è questo Karl?

Forse un "ex" membro di matematicamente?

[Nidhogg]

E' tutt'ora iscritto al forum. E' stato (e per me resta) un grande forumista, che partecipava e alimentava questo forum con quesiti sempre interessanti (soprattutto di aritmetica!).