La superficie del cerchio

[Delirium]

Semplice, ma carino.

Sono dati una circonferenza \( \displaystyle \mathrm{C} \) di raggio \( \displaystyle r \) ed un poligono regolare \( \displaystyle \Gamma \) di \( \displaystyle n \) lati in essa inscritto. Si fornisca un'espressione \( \displaystyle S(n) \) della superficie di \( \displaystyle \Gamma \) in funzione di \( \displaystyle n \) . Si calcoli infine \( \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S(n) \) e se ne dia un'interpretazione geometrica.

[gugo82]

Anche questo, se non ho cannato i conti, dovrebbe essere abbordabile, ma si devono usare strumenti un po' più raffinati.

***

Siano \( \displaystyle \mathcal{P} \) un qualsiasi \( \displaystyle n \) -gono inscritto in \( \displaystyle C \) ed \( \displaystyle S(\mathcal{P}) \) la sua area.

Dimostrare che \( \displaystyle S(\mathcal{P})\leq S(n) \) , ove \( \displaystyle S(n) \) è (come sopra) l'area di un \( \displaystyle n \) -gono regolare anch'esso inscritto in \( \displaystyle C \) .

Suggerimento: Detti \( \displaystyle \alpha_1, \alpha_2,\ldots ,\alpha_n \) gli angoli al centro cui sono sottesi i lati di \( \displaystyle \mathcal{P} \) , dimostrare che \( \displaystyle S(\mathcal{P}) \) si può esprimere in funzione di \( \displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_n \) ; mostrare che \( \displaystyle S(\mathcal{P}) \) è massima per \( \displaystyle \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n \) e concludere.

[Delirium]

Anche questo, se non ho cannato i conti, dovrebbe essere abbordabile, ma si devono usare strumenti un po' più raffinati.

***

Siano \( \displaystyle \mathcal{P} \) un qualsiasi \( \displaystyle n \) -gono inscritto in \( \displaystyle C \) ed \( \displaystyle S(\mathcal{P}) \) la sua area.

Dimostrare che \( \displaystyle S(\mathcal{P})\leq S(n) \) , ove \( \displaystyle S(n) \) è (come sopra) l'area di un \( \displaystyle n \) -gono regolare anch'esso inscritto in \( \displaystyle C \) .

Suggerimento: Detti \( \displaystyle \alpha_1, \alpha_2,\ldots ,\alpha_n \) gli angoli al centro cui sono sottesi i lati di \( \displaystyle \mathcal{P} \) , dimostrare che \( \displaystyle S(\mathcal{P}) \) si può esprimere in funzione di \( \displaystyle \alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_n \) ; mostrare che \( \displaystyle S(\mathcal{P}) \) è massima per \( \displaystyle \alpha_1=\alpha_2=\ldots=\alpha_n \) e concludere.

Il poligono considerato è scomponibile in \( \displaystyle n \) triangoli isosceli di superfici \( \displaystyle \frac{r^{2}}{2} \cdot \sin \alpha_{1} \) , \( \displaystyle \frac{r^{2}}{2} \cdot \sin \alpha_{2} \) , \( \displaystyle \frac{r^{2}}{2} \cdot \sin \alpha_{3} \) , ... , \( \displaystyle \frac{r^{2}}{2} \cdot \sin \alpha_{n} \) ; la superficie del poligono considerato è pertanto pari alla somma di tutte le aree dei triangoli considerati poc'anzi, ossia \( \displaystyle S(\mathcal{P})=\frac{r^{2}}{2} \cdot \sin \alpha_{1}+\frac{r^{2}}{2} \cdot \sin \alpha_{2}+\frac{r^{2}}{2} \cdot \sin \alpha_{3}+...+\frac{r^{2}}{2} \cdot \sin \alpha_{n}=\frac{r^{2}}{2}(\sin \alpha_{1} + \sin \alpha_{2} + \sin \alpha_{3} +...+\sin \alpha_{n}) \) .

Il problema consiste ora nel dimostrare che la somma \( \displaystyle \sin \alpha_{1} + \sin \alpha_{2} + \sin \alpha_{3} + ... + \sin \alpha_{n} \) è massima quando \( \displaystyle \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}\,...=\alpha_{n} \) , ricordando però che \( \displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+...+\alpha_{n}=2\pi \) .

Per ora non sono riuscito a cavare un ragno dal buco. Nemmeno sono certo di possedere conoscenze sufficienti.

[simo16]

il seno tra o e $\pi$ è una funzione concava

[And_And92]

Anch'io stavo pensando a Jensen....

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

poiché $f(x)=sin(x)$ è concava e la disuguaglianza di Jensen funziona per le funzioni convesse, allora basterà porre $g(x)=-f(x)$, allora si potrà scrivere:
$-sin(sum_(i=1)^n (a_i)/n)<=(sum_(i=1)^n (-sin(a_i)))/n$
$sin(2pi/n)>=(sum_(i=1)^n sin(a_i))/n$
che è esattamente quanto cercavamo.

[gugo82]

Esatto.
Basta usare la concavità.

@And_And92: Insomma, la disuguaglianza di Jensen per le funzioni concave funziona col verso opposto ( \( \displaystyle \geq \) al posto di \( \displaystyle \leq \) ).

***

Per chi non è pratico, si chiama disuguaglianza di Jensen la seguente disuguaglianza di convessità:

Siano \( \displaystyle \Omega \subseteq \mathbb{R}^N \) un insieme convesso \( \displaystyle f:\Omega \to \mathbb{R} \) una funzione convessa [risp. concava].
Comunque si fissino \( \displaystyle n \) punti distinti \( \displaystyle x_1,\ldots ,x_n\in \Omega \) ed \( \displaystyle n \) coefficienti \( \displaystyle \lambda_1,\ldots ,\lambda_n\in [0,1] \) tali che \( \displaystyle \sum_{i=1}^n \lambda_i=1 \) , si ha:

\( \displaystyle f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i)\leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \) [risp. \( \displaystyle f(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i)\geq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i) \) ].

(tale disuguaglianza si prova per induzione partendo dalla definizione di funzione convessa/concava).

Una versione più generale della disuguaglianza di Jensen è la seguente:

Siano \( \displaystyle (X,\mathfrak{M}, \mu) \) uno spazio di misura probabilistico (i.e. \( \displaystyle \mu (X)=1 \) ) ed \( \displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} \) una funzione convessa [risp. concava].
Comunque si fissi \( \displaystyle u\in L^1(\mu) \) risulta:

\( \displaystyle f\left( \int_X u\ \text{d} \mu\right) \leq \int_X f\circ u\ \text{d} \mu \) [risp. \( \displaystyle f\left( \int_X u\ \text{d} \mu\right) \geq \int_X f\circ u\ \text{d} \mu \) ]

[Delirium]

Mmm... Credo di aver capito. Non ero a conoscenza di questa disuguaglianza. Geniale.

[And_And92]

@gugo: ne ero ben consapevole, mi pareva carino partire dalla definizione..

[gugo82]

@And_And92:

@Delirium: Per tornare alla domanda originaria, dai calcoli svolti è evidente che:

\( \displaystyle S(n)=\tfrac{n}{2} \sin \tfrac{2\pi}{n}\ r^2 \) ,

ergo, sfruttando il limite notevole, si trova:

\( \displaystyle \lim_n S(n)=\pi r^2 \) .

Geometricamente, ciò si interpreta al modo che segue: al crescere del numero di lati, l'area del \( \displaystyle n \) -gono regolare approssima l'area del cerchio \( \displaystyle C \) .

[Delirium]

Ecco, questo quesito era parte di un problema della maturità di qualche anno fa.