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Sia \(a\in\mathbb{N}\). Se \(f\) è una funzione decrescente, \(\forall x\in[k,k+1]\,\,\, f(k+1)\leq f(x)\leq f(k)\) da cui, per la monotonia dell'integrale,
\[ f(k+1)\leq \int_{k}^{k+1} f(x)\,dx \leq f(k)\]
Sommando adesso da \(a\) fino a \(n-1\),
\[\sum_{k=a}^{n-1}f(k+1)\leq \int_a^{n}f(x)\,dx\leq \sum_{a}^{n-1}f(k)\]
Abbiamo che
\[ \sum_{a}^{n}f(k) - f(a) \leq\int_{a}^{n}f(x)\,dx\Rightarrow \sum_{a}^{n}f(k) \leq f(a) +\int_{a}^{n}f(x)\,dx \]
e anche che
\[ \sum_{a}^{n}f(k)-f(n)\geq \int_{a}^{n}f(x)\,dx\Rightarrow\sum_{a}^{n}f(k)\geq f(n)+ \int_{a}^{n}f(x)\,dx \]
ossia la tesi, unendo le disuguaglianze.
\[ f(k+1)\leq \int_{k}^{k+1} f(x)\,dx \leq f(k)\]
Sommando adesso da \(a\) fino a \(n-1\),
\[\sum_{k=a}^{n-1}f(k+1)\leq \int_a^{n}f(x)\,dx\leq \sum_{a}^{n-1}f(k)\]
Abbiamo che
\[ \sum_{a}^{n}f(k) - f(a) \leq\int_{a}^{n}f(x)\,dx\Rightarrow \sum_{a}^{n}f(k) \leq f(a) +\int_{a}^{n}f(x)\,dx \]
e anche che
\[ \sum_{a}^{n}f(k)-f(n)\geq \int_{a}^{n}f(x)\,dx\Rightarrow\sum_{a}^{n}f(k)\geq f(n)+ \int_{a}^{n}f(x)\,dx \]
ossia la tesi, unendo le disuguaglianze.
