[T] Equazioni differenziali? No, grazie!

[Mathematico]

Ormai ha perso di efficacia, pensavo di cambiarlo per un semplice fatto di "ricerca", è più facile trovare questa discussione se qualcuno cerca le parole "seno, coseno". Se cerchi "equazioni differenziali" ti ritrovi anche questa pagina che con l'argomento che ti interessa non ha nulla a che spartire .

[j18eos]

Anch'io avevo pensato più o meno come Rigel, solo che ho adoperato la variabile complessa!

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Poiché si deve studiare il problema di Cauchy seguente \( \displaystyle \begin{cases}f'(x)=g(x)\\g'(x)=-f(x)\\f(0)=0\\g(0)=1\end{cases} \) si nota agilmente che esso equivale ai seguente due: \( \displaystyle \begin{cases}f''(x)+f(x)=0\\f(0)=0\\f'(0)=1\end{cases} \) e \( \displaystyle \begin{cases}g''(x)+g(x)=0\\g(0)=1\\g'(0)=0\end{cases} \) .

Euristicamente, supposto che le equazioni ammettano un'unica soluzione locale(*), per le ipotesi si ha che le soluzioni sono funzioni \( \displaystyle C^{\infty} \) e definite in un intorno dello \( \displaystyle 0 \) ; è una semplice considerazione poiché le funzioni sono derivabili ad libitum!

Inoltre dovendo studiare la funzione \( \displaystyle [f(x)]^2+[g(x)]^2 \) risulta \( \displaystyle 2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0 \) per cui essa è una funzione costante; dai dati iniziali forniti è \( \displaystyle [f(x)]^2+[g(x)]^2=1 \) .

Per tali motivi le derivate della \( \displaystyle f \) e \( \displaystyle g \) sono limitate, quindi sono sviluppabili in serie di Taylor ovvero sono funzioni analitiche.

Da quanto analizzato si devono trovare le soluzioni del tipo \( \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!} \) e \( \displaystyle g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}g^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!} \) , dai dati iniziali si ha che sono \( \displaystyle a_0=0 \) e \( \displaystyle b_1=1 \) ; ed in più si ottengono le soluzioni ricercate \( \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \) e \( \displaystyle g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \) con semplici calcoli che non riporto!

Dato che Mathematico non si è dimenticato la funzione esponenziale, otteniamo che \( \displaystyle f(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \) e \( \displaystyle g(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \) ; è ovvio allora osservare che tali funzioni sono:

1) soluzioni globali del dato problema di Cauchy;

2) funzioni \( \displaystyle 2\pi \) -periodiche;

3) non hanno zeri comuni;

4) \( \displaystyle \forall x\in\mathbb{R},\,|f(x)|;|g(x)|\leq1 \) .

Poi mi sono scocciato di pensarci e mi sono fermato così!

§§§

(*) Dato che la teoria delle ODE è keep off...

In attesa di commenti: vi saluto!

EDIT: Corretto una coppia di dimenticanze, un errore grammaticale ed un errore che non avevo notato.

[Mathematico]

Come al solito i miei commentucci ultracattivissimi in rosso.

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Poiché si deve studiare il problema di Cauchy seguente \( \displaystyle \begin{cases}f'(x)=g(x)\\g'(x)=-f(x)\\f(0)=0\\g(0)=1\end{cases} \) si nota agilmente che esso equivale ai seguente due: \( \displaystyle \begin{cases}f''(x)+f(x)=0\\f(0)=0\end{cases} \) e \( \displaystyle \begin{cases}g''(x)+g(x)=0\\g(0)=1\end{cases} \) .

(Non vi è equivalenza tra i sistemi che hai citato e il sistema originale , ma con una condizione aggiuntiva ad entrambi risolvi tutto, per capirci, i due sistemi scritti da te hanno infinite soluzioni.)

Euliricamente (Euristicamente?), supposto che le equazioni ammettano un'unica soluzione locale(1), per le ipotesi si ha che le soluzioni sono funzioni \( \displaystyle C^{\infty} \) e definite in un intorno dello \( \displaystyle 0 \) ; è una semplice considerazione poiché le funzioni sono derivabili ad libitum! (Yup, infatti mi chiedo come mai nel testo dell'esercizio, si chiede che le funzioni siano \( \displaystyle C^2(\mathbb{R}) \) )

Inoltre dovendo studiare la funzione \( \displaystyle [f(x)]^2+[g(x)]^2 \) risulta \( \displaystyle 2f(x)f'(x)+2g(x)g'(x)=2f(x)g(x)-2g(x)f(x)=0 \) per cui essa è una funzione costante; dai dati iniziali forniti è \( \displaystyle [f(x)]^2+[g(x)]^2=1 \) (Yeah!).

Per tali motivi le derivate della \( \displaystyle f \) e \( \displaystyle g \) sono limitate, quindi sono sviluppabili in serie di Taylor ovvero sono funzioni analitiche.

Da quanto analizzato si devono trovare le soluzioni del tipo \( \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!} \) e \( \displaystyle g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}g^{(n)}(0)\frac{x^n}{n!} \) , dai dati iniziali si ha che sono \( \displaystyle a_0=0 \) e \( \displaystyle b_1=1 \) ; ed in più si ottengono le soluzioni ricercate \( \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \) e \( \displaystyle g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n} \) con semplici calcoli che non riporto! (Ok, mi fido )

Dato che Mathematico non si è dimenticato la funzione esponenziale (:lol:), otteniamo che \( \displaystyle f(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2} \) e \( \displaystyle g(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \) (I'm not sure 'bout this, manca una \( \displaystyle i \) , sarà sicuramente un typo ); è ovvio allora osservare che tali funzioni sono:

1) soluzioni globali del dato problema di Cauchy;

2) funzioni \( \displaystyle 2\pi \) -periodiche;

3) non hanno zeri comuni;

4) \( \displaystyle \forall x\in\mathbb{R},\,|f(x)|;|g(x)|\leq1 \) .

Poi mi sono scocciato di pensarci e mi sono fermato così! (Mi fai morire )

§§§

(1) Dato che la teoria delle ODE è keep off...

In attesa di commenti: vi saluto!

Ti ringrazio per esserti interessato al problema

[Fioravante Patrone]

Una richiesta: Mi date un titolo serio per questa discussione? Avevo pensanto a "Una caratterizzazione delle funzioni seno e coseno", siete d'accordo?

No, va benissimo il titolo che hai scelto
post486644.html

[j18eos]

Ero convinto che si dicesse eulirico... si vede che stando in prima fila non ci sentii bene. -_-

Non mi hai dato il tempo di correggere le prime 2 sviste.

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Ecco una parte del resto... Essendo \(f(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i},\,g(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\), notando che in \([0;\alpha),\,g(x)=\dot f(x)\leq1\leq\frac{1}{[g(x)]^2}\) segue dai teoremi del confronto per equazioni differenziali che \[\forall x\in[0;\alpha),\,f(x)\leq x\leq\frac{f(x)}{g(x)}.\]

EDIT TO mathematico Se ci fai caso, la soluzione non è proprio conforme alla tua conoscenze, ma il risultato che ho utilizzato è fisicamente ovvio; basta vedere la derivata prima di un punto materiale e i dati iniziali come la posizione iniziale.