Sottospazi invarianti

[Paolo90]

Dopo averne discusso con l'amico maurer, abbiamo deciso di proporlo qui. E' un bell'esercizio.

Esercizio. Sia \( \displaystyle A \) la seguente matrice in \( \displaystyle \mathbb{R}^{n,n} \) :

\( \displaystyle A:= \left(
\begin{array}{cccccc}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & \ldots & 1 & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 1
\end{array}
\right) \)

Si trovino tutti i sottospazi di \( \displaystyle \mathbb{R}^{n} \) che sono invarianti per \( \displaystyle A \) , i.e. tali che \( \displaystyle A(V) \subseteq V \) .

Fonte: Test di ammissione IV Anno, a.a. 2007-08, Scuola Normale Superiore.

Hint:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Jordan.

[hamming_burst]

vorrei porre una domanda oltre il quesito, se posso:

la notazione $A(V)$ per cosa starebbe?
se $A$ è una matrice non capisco come può essere tratta come un'applicazione...

E' una domanda, non in merito ad una possibile risposta al quesito. Se volete eliminarla, nessun problema

[maurer]

Rispondo io. Semplicemente, \( \displaystyle A \) viene pensata come l'applicazione lineare \( \displaystyle f : \mathbb R^n \to \mathbb R^n \) la cui matrice associata rispetto alla base canonica è \( \displaystyle A \) . Spesso i due concetti vengono identificati e, anche se non è del tutto salubre come operazione, è molto spesso comoda.

[hamming_burst]

Rispondo io. Semplicemente, \( \displaystyle A \) viene pensata come l'applicazione lineare \( \displaystyle f : \mathbb R^n \to \mathbb R^n \) la cui matrice associata rispetto alla base canonica è \( \displaystyle A \) . Spesso i due concetti vengono identificati e, anche se non è del tutto salubre come operazione, è molto spesso comoda.

ah ok, non l'avevo mai vista utilizzata in questo modo la matrice associata all'applicazione lineare.
ti ringrazio molto della risposta

[vict85]

Si penso che si tratti solo di usare Jordan in effetti. Ma la matrice è da intendersi come "riferita alla base canonica"?

[maurer]

Sì. Ma vi invito a fare esplicitamente i conti. Naturalmente dovrete dimostrare anche di aver trovato proprio tutti i sottospazi (che poi è la parte interessante!)...

[vict85]

Naturalmente dovrete dimostrare anche di aver trovato proprio tutti i sottospazi (che poi è la parte interessante!)...

Non vedo più di tanto la difficoltà di questa seconda parte. Ad un sottospazio \(S\) invariante e selezionata una sua base posso associare una matrice della restrizione dell'omomorfismo. D'altra parte siccome il sottospazio è invariante se \(B\) è la matrice dalla restrizione allora

\[\displaystyle A':= \left( \begin{array}{cc} B & 0 \\ C & D \end{array} \right) \]

dove segno con \(A'\) la matrice riferita allo stesso endomorfismo riferita ad una base che è completamento della base del sottospazio riferita a \(B\).

Siccome \(B\) è un endomorfismo di \(S\) allora posso trovare una matrice di jordan di \(B\) e per l'unicità della matrice di Jordan si dovrebbe concludere che si sono trovati tutti i sottospazi... O mi sbaglio?

P.S: Ci ho pensato un po' di fretta e quindi magari mi sbaglio.

[maurer]

Devo essere sincero, non capisco nemmeno quali proponi come sottospazi invarianti. Potresti darmi una rappresentazione esplicita (ad esempio tramite la base) di quelli che sono i tuoi candidati sottospazi invarianti?

[vict85]

Devo essere sincero, non capisco nemmeno quali proponi come sottospazi invarianti. Potresti darmi una rappresentazione esplicita (ad esempio tramite la base) di quelli che sono i tuoi candidati sottospazi invarianti?

Avevo scritto velocemente mentre stavo uscendo e probabilmente ho scritto cose sbagliate. Comunque stavo solo cercando di dire che secondo me per dimostrare che erano tutti non erano necessario trovarli direttamente. Ma penso di averlo scritto maluccio.

[Paolo90]

In realtà, trovarli direttamente non è difficile (ci sono riuscito io, quindi direi che è una cosa standard ).

Per quanto mi riguarda è decisamente più difficile far vedere che quelli trovati sono tutti (infatti io non sono riuscito a risolvere questo punto, è stato maurer).