Propongo un simpatico esercizio, tratto dall'Atyiah-Macdonald, che ho trovato davvero carino (in particolare il terzo punto).
Prove it! Sia \( \displaystyle A \) un anello, sia \( \displaystyle A [[ X ]] \) l'anello delle serie formali a coefficienti in \( \displaystyle A \) . Sia \( \displaystyle f = \sum_{n = 0}^{+\infty} a_n X^n \) un elemento generico. Mostrare che
- 1. \( \displaystyle f \) è un'unità in \( \displaystyle A [[X]] \) se e solo se \( \displaystyle a_0 \in A \) è un'unità;
2. se \( \displaystyle f \) è nilpotente, allora i suoi coefficienti sono tutti nilpotenti; mostrare con un controesempio che in generale non vale il viceversa;
3. se \( \displaystyle A \) è noetheriano e tutti i coefficienti di \( \displaystyle f \) sono nilpotenti, allora \( \displaystyle f \) è nilpotente. Si può ridurre questa ipotesi sull'anello \( \displaystyle A \) ad una più semplice ipotesi sull'elemento \( \displaystyle f \) ?
4. \( \displaystyle f \) appartiene al radicale di Jacobson di \( \displaystyle A[[X]] \) (intersezione degli ideali massimali) se e solo se \( \displaystyle a_0 \) appartiene al radicale di Jacobson di \( \displaystyle A \) .
Enjoy!
Nota: sarebbe bene evitare, per quanto possibile, conti tediosi-oltre-il-dovuto con la moltiplicazione di serie formali. So che non è una richiesta molto precisa, ma mi affido al vostro buonsenso!
