"Nuove " condizioni di monogeneità per funzioni complesse

[Camillo]

Sono ben note le condizioni necessarie e sufficienti (di Cauchy-Riemann ) per la derivabilità complessa di una funzione $f(z)=f(x+iy) = u(x,y)+i v(x,y)$.

$u_x = v_y $
$u_y =-v_x .$

Non conoscevo invece questo diverso modo di formulare le condizioni di monogeneità che ora vado a descrivere :

Essendo $ z=x+iy ; bar z = x-iy $ si possono esprimere $ x, y $ in funzione di $z $ e di $ bar z $ così:

$x=(z+bar z)/2 ; y= (z-barz)/2 $ .

Si può quindi scrivere la $ f(z) $ come funzione di $z $ e di $ bar z $ .

Si ha allora :
(1) $(del f )/(del x)=(del f)/(del z ) +(del f)/(del bar z) $
(1’) $ (del f)/(del y)= i((del f)/(del z) –(delf)/(del barz)) $.
Ma essendo
(2) $(del f)/(del x)= (del f)/(del( iy)) =- i(delf)/(dely)$ in quanto se $f(z)$ è derivabile in senso complesso , la sua derivata sull’asse reale deve coincidere con la sua derivata sull’asse immaginario,
segue allora da (1),(1’),(2) :

(3) $(delf)/(del z)+ (delf)/(del bar z) = (delf)/(delz) –(delf)/(del bar z) $ da cui segue immediatamente :

(4) $(delf)/(del bar z)=0 $.

Ecco dunque la “nuova “ condizione di monogeneità ( che non conoscevo).

Applichiamo questa condizione ad alcuni esercizi per determinare se le funzioni sono derivabili in senso complesso :
· $f(z)= z^2 $ .Per $f(z,barz)=z^2$ si ha subito $(delf)/(del bar z)=0 $ , infatti $f(z) $ non dipende da $bar z$ e la funzione è derivabile in $CC $.
· $f (z, barz )= bar z $ da cui $(delf)/(del bar z )= 1 ne 0 $ , quindi funzione mai derivabile in senso complesso.
· $f= z*Re(z) ; f(z,bar z)=z(z+barz)/2 =z^2/2+(z barz)/2 $ ; da cui $ (delf)/(del barz)= z/2 $ che vale $0 $ solo nell’origine.Provando con le condizioni di C.R. si ha $ z*Re(z)=(x+iy)x=x^2+ixy $, da cui :
$u_x=2x ; v_y=x $ ; $u_y=0 ; -v_x= -y $ e imponendo le relative uguaglianze si ha $ 2x=x ; y=0 $ da cui $x=y=0 $ e quindi le condizioni sono verificate solo nell’origine.

* $f=|z|^(alpha) , alpha in RR, alpha ne 0 $ , chi vuol provare trovi le condizioni per cui la funzione è derivabile in senso complesso.

[ciampax]

Non le conoscevi? Di solito quando apri un libro di analisi complessa che punta un occhio alla geometria (Krantz, Range, ecc) quella è una definizione di olomorfia. Anzi, in generale la definizione di funzione olomorfa in $n$ variabili complesse è proprio che le derivate parziali barrate siano tutte nulle. Tra l'altro c'è una bella interpretazione "geometrica" della faccenda: dal momento che $\partial_x,\ \partial_y$ sono i generatori dello spazio tangente a \( \displaystyle \mathbb{R}^2 \) , si ottiene che i generatori dello spazio tangente complessificato a \( \displaystyle \mathbb{C} \) risulta generato da \( \displaystyle Z=\partial_x-i\partial_y,\ \bar{Z}=\partial_x+i\partial_y \) (di solito ci va $1/2$ davanti).

A questo punto è anche molto carino vedere cosa accade alle seguenti funzioni:

\( \displaystyle e^{z},\ \frac{1}{z},\ \log z,\ e^{1/z} \)

dove, se notate, in nessuna appare esplicitamente $\bar{z}$ (per cui si potrebbe essere portati a pensare che siano tutte olomorfe!).

[maxsiviero]

Ho provato a vedere cosa succede a \(f(z)=\frac{1}{z}\).

Se poniamo \(z=x+iy\) la funzione risulta:

\(f(z)=\frac{1}{x+iy}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-i\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\)

A questo punto:

\(u(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\)

\(v(x,y)=-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\)

Sul Greene-Krantz trovo questa formula:

\(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right)+\frac{i}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)\)

Nel nostro caso

\(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}\left(\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right)+\frac{i}{2}\left(\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\right)=0\)

Questo dimostra che la funzione è olomorfa in tutto il suo dominio che è \(\mathbb{C}\setminus \{0\}\).

[gugo82]

@ciampax: Questa cosa l'ho detta en passant ai miei ingegneri l'anno scorso, facendo notare come il "malefico fattore barrato" (testuali parole) \(\overline{z}\) sia presente, seppure ben nascosto, in alcune funzioni che notoriamente non sono olomorfe... Ad esempio, in $f(z)=|z|^2=z\ \overline{z}$ oppure in $f(z)=\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$.
Credo fosse la seconda esercitazione che facevo... Ma dubito che chi era presente se ne ricordi (complici l'orario infame ed il fatto che la questione era affrontata in modo superficiale, come pura curiosità).

[ciampax]

@ciampax: Questa cosa l'ho detta en passant ai miei ingegneri l'anno scorso, facendo notare come il "malefico fattore barrato" (testuali parole) \(\overline{z}\) sia presente, seppure ben nascosto, in alcune funzioni che notoriamente non sono olomorfe... Ad esempio, in $f(z)=|z|^2=z\ \overline{z}$ oppure in $f(z)=\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z|^2}$.
Credo fosse la seconda esercitazione che facevo... Ma dubito che chi era presente se ne ricordi (complici l'orario infame ed il fatto che la questione era affrontata in modo superficiale, come pura curiosità).

LoL! Certo che è una cosa davvero forte, soprattutto se uno considera che tutta la teoria delle funzioni olomorfe in più variabili e delle varietà complesse gira attorno a questa cosa qui!