Coloriamo il piano

[piadinaro]

Supponiamo di avere $n>0$ colori e ad ogni punto del piano ($\mathbb R ^2$) associamo uno e un solo colore. Dimostrare che esiste un rettangolo con i vertici dello stesso colore.
La tesi vale anche se i colori sono numerabili?

ps. Non ho una soluzione della seconda parte

[Gi8]

Supponiamo di avere $n>0$ colori e ad ogni punto del piano ($\mathbb R ^2$) associamo uno e un solo colore. Dimostrare che esiste un rettangolo con i vertici dello stesso colore.

Provo a dimostrarlo.

Alcune premesse:
1) Sia $n>0$ il numero di colori. Siano $c_1,c_2,c_3,...,c_n$ gli $n$ colori distinti.
Sia $ccC$ $:$ $RR^2-> {c_1,c_2,...,c_n}$ la nostra funzione "colore"

2)Fissato $y in RR$, per ogni sottoinsieme $A$ di $RRxx{y}$ definiamo $A^(i)={(x,y) in A | ccC(x,y)=c_i}$
Ovviamente $A^i nn A^j = O/$ $AA i!=j$ e $uu_(i =1)^n A^i= A$

Se $A$ ha misura non nulla, $EE i in {1,...,n}$ tale che $A^i$ ha misura non nulla.
Più precisamente $EE i in {1,...,n}$ tale che $1/n*ccm(A)<=ccm(A^i)<=m(A)$ (i)
In tal caso si dice che $A$ è $i$-colorato

3)Gli insiemi che mi interessano per la dimostrazione sono tutti del tipo $S_y=[0,1]xx{y}$, con $y in [0,1]$
Sono i segmenti "orizzontali" (di misura 1) che si trovano nel quadrato di vertici $(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)$


Parto con la dimostrazione:
Dalla (i), $AA y in [0,1]$ si ha che $EE i in {1,...,n}$ tale che $1/n<=ccm(S_y^i)<=1$. (perchè $S_y$ ha misura $1$)


Se prendiamo $n+1$ segmenti distinti (ad esempio $S_(k/n)$, $k in {0,1,...,n}$)ce ne sono almeno due $i$-colorati ( $i in {1,2,...,n}$)
Se prendiamo $2n+1$ segmenti distinti ce ne sono almeno tre $i$-colorati (per un certo $i in {1,2,...,n}$)
...
Se prendiamo $(n+1)n+1$ segmenti distinti
ce ne sono almeno ($n+1$) $i$-colorati (per un certo $i in {1,2,...,n}$) .
Li chiamo $S_(y_1),S_(y_2),..., S_(y_n),S_(y_(n+1))$

$AA k in {1,2,...,n+1}$ consideriamo $P_k$, le proiezioni di $S_(y_k)^i$ sull'asse $y$.
Si ha $P_k sube [0,1]$ e $1/n<=ccm(P_k)<=1$.
Ci sono almeno due di questi insiemi ($P_(k_1)$ e $P_(k_2))$) la cui intersezione è non vuota e ha misura non nulla

Quindi $EE a,b in P_(k_1)nnP_(k_2)$ con $a!=b$.

Ecco: abbiamo trovato i quattro punti : $(a,y_1),(a,y_2),(b,y_1),(b,y_2)$

[piadinaro]

Va bene, io avevo fatto così:
prendi $n+1$ righe e \(n \binom{n+1} {2}+1\) colonne e consideri le intersezioni. Su ogni colonna c'è almeno una coppia di punti dello stesso colore. Poiché le possibili coppie colorate (nelle varie posizioni) sono \(n \binom{n+1}{2} \) esistono 2 colonne con le rispettive coppie di punti alla stessa altezza e dello stesso colore quindi i vertici del rettangolo.
Avanti col prossimo!