"misurare" il disordine....

[boba74]

Salve, non sapevo in che sezione postare, come sempre ogni volta che comincio a lambiccarmi il cervello su problemi pratici cercando sempre un aspetto "matematico" senza averne le basi (o forse le avevo ma sono ormai dimenticate...).
Il problema è molto semplice:
dato uno spazio (supponiamo per semplicità una certa regione piana), che contiene un certo numero n di "oggetti" (di qualunque tipo, supponiamo per il momento semplici punti materiali, tutti identici tra loro). Ciascun oggetto occupa una posizione nello spazio (es. indicata con 2 coordinate). Analizziamone le disposizioni.
Se mettiamo tutti gli oggetti equidistanti tra loro a formare delle file, diremo che tali oggetti sono "ordinati" e disposti in modo "regolare". Se invece generiamo casualmente le coordinate di ciascun punto otterremo una disposizione del tutto casuale, che potrebbe essere altamente "disordinata" e "irregolare".
Domanda: esiste una definizione geometrica rigorosa dei termini "ordine-disordine" e "regolarità-irregolarità"? E tali grandezze una volta definite possono essere in qualche modo "misurate"? E date 2 qualunque disposizioni è possibile stabilire in un certo modo quale delle due ha un minor grado di disordine? Esiste un disordine massimo oltre al quale è impossibile andare, o un disordine "minimo"?
Inoltre: una cosa è il concetto ordine-disordine, un'altra il concetto regolarità-irregolarità, che dovrebbero essere secondo me 2 grandezze diverse. Mi spiego:
prendiamo 10 punti in uno spazio quadrato di lato 1 metro. Mettiamo tutti e 10 i punti in modo che occupino una piccola regione di spazio (es. 10x10cm), ma all'interno di tale sotto-regione sono disposti in modo casuale. Bene, tali punti secondo me sono disposti in modo "irregolare", ma rispetto allo spazio totale sono "ordinati" proprio perchè sono concentrati in una zona ristretta e non sparpagliati in giro.
Cioè, il concetto di "regolarità" dovrebbe tener conto della disposizione reciproca dei punti (se formano allineamenti, o raggruppamenti equidistanti, ecc....) mentre il concetto di ordine o disordine dovrebbe essere un concetto globale, che ricorda l'entropia in fisica. Qui però parliamo di oggetti finiti.
Ad esempio: gli alberi in un bosco, o gli edifici in una città. In un bosco se ci pensiamo bene la disposizione degli alberi non è del tutto casuale, e di contro, in una città le case non sono necessariamente disposte in posizione perfettamente regolare e ordinata. Vorrei trovare un modo semplice per "misurare" queste grandezze data una qualsiasi configurazione di oggetti all'interno di una zona. Io penso che questo problema sia già stato affrontato in termini matematici, quindi non dovrebbe essere difficile trovare dei riferimenti....
(Poi eventualmente in seguito si potrebbe complicare il problema introducendo entità di tipo diverso, aventi diversa "taglia" e diversi orientamenti nello spazio... ma per il momento mi accontento del caso semplice)....

[Valerio Capraro]

Bella domanda!

Non sono esperto in queste cose, quindi non ti so dire se esistono gia' concetti come li vuoi, ne' darti referenze. Pero' posso proporre un'idea che mi sembra vada abbastanza bene per punti in $\mathbb R^N$.

Prendi $n$ punti $x_1,\ldots,x_n\in\mathbb R^N$ e sia $C$ l'inviluppo convesso di questi punti. Considera la misura di Lebesgue dell'insieme $C$ e denotala con $m(C)$. Questa misura da' una prima misura del grado di disordine dei tuoi punti. Ad esempio:

Se i punti coincidono, oppure sono allineati, allora $m(C)=0$.
Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.

[boba74]

OK, finalmente un primo spunto.
Quindi in questo caso, la misura di Lebesgue (che da quello che capisco nel nostro esempio bidimensionale, sembra essere una sorta di "superficie totale" occupata dai punti, o meglio dal loro inviluppo) potrebbe dare un informazione sul grado di occupazione dello spazio che può avere una determinata distribuzione di punti.
Esempio, se ho 100 punti disposti su una circonferenza di raggio r, essi occuperanno approssimativamente un'area pari a quella del cerchio di raggio r.
Perciò in effetti, una prima definizione di "disordine" potrebbe essere quella definita come rapporto tra m(C) e l'area totale della zona indagata, assumere quindi un valore compreso tra 0 e 1, e definendo così una scala che parte da 0 per punti coincidenti o disposti lungo uno stesso allineamento, e tende a un valore massimo 1 per punti "molto sparpagliati" il cui inviluppo occupa tutto lo spazio disponibile.
Però non mi basta.
Io potrei avere punti perfettamente equidistanti e disposti in file ordinate che occupano però una grande regione di spazio.
Esempio, il solito appezzamento quadrato di 1x1m, con 4 punti disposti esattamente ai 4 vertici. In questo caso occupano l'intera superficie, ma sono sostanzialmente "ordinati", e inoltre, se all'interno dei 4 punti ce ne stanno altri, non importa quanti siano, e non importa che posizioni occupano, mi ritroverei la stessa identica misura del "disordine", pari appunto a 1, perchè il contributo all'inviluppo è dato unicamente dai punti più esterni...
Un discorso simile vale se anzichè considerare la misura dell'area, considerassimo ad esempio la "distanza media" tra i punti (ossia, se per ciascuna coppia di punti definissimo una distanza e ne facessimo la media tra tutte le possibili coppie di punti). Anche questa misura non ci direbbe nulla su quanto tali punti siano "ordinati" o "regolari"...

[gugo82]

[OT]

Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.

Falso.

Prendiamo nel piano tre punti \((-1/n^2,0),\ (1/n^2,0),\ (0,n)\): chiaramente quando \(n\) è grande i tre punti sono molto distanti tra loro (infatti la distanza tra il terzo e gli altri due è \(\sqrt{n^2+1/n^4} \approx n\) e tende ad \(\infty\) quando \(n\) cresce); d'altra parte il loro inviluppo convesso è il triangolo isoscele avente vertici nei tre punti, perciò si ha \(m(C) = \frac{1}{n}\), quantità che tende a zero quando \(n\) cresce.

[/OT]

[boba74]

[OT]

Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.

Falso.

Prendiamo nel piano tre punti \((-1/n^2,0),\ (1/n^2,0),\ (0,n)\): chiaramente quando \(n\) è grande i tre punti sono molto distanti tra loro (infatti la distanza tra il terzo e gli altri due è \(\sqrt{n^2+1/n^4} \approx n\) e tende ad \(\infty\) quando \(n\) cresce); d'altra parte il loro inviluppo convesso è il triangolo isoscele avente vertici nei tre punti, perciò si ha \(m(C) = \frac{1}{n}\), quantità che tende a zero quando \(n\) cresce.

[/OT]

se immagino bene la situazione, questo coincide con prendere un triangolo isoscele e allontanare sempre più il vertice mentre la base si restringe....

[gugo82]

Esattamundo.

Ovviamente questo controesempio non è legato alla posizione dei punti; insomma, il succo è che posso sempre prendere tre punti lontani tali che l'area del loro inviluppo convesso sia piccola.
Ovviamente ciò si può fare pure con i rettangoli, o con qualunque poligono.

[DajeForte]

Potresti rifarti anche a tecniche statistiche. Ad esempio se hai un sieme di dati $(X,Y)=(x_i,y_i)_{i=1...n}$ una misura di come sono "linearizati" i punti è dato dal coefficiente di correlazione $p(X,Y)=(Cov(X,Y))/sqrt(Var(X)Var(Y))$ il quale varia tra -1 e1 e più è vicino agli estremi più c'è linearizzazione. In altre dimensioni valgono ragionamenti simili rispetto ai cosi detti iperpiani di regressione.

Altrimenti potresti pensare a tecniche di clusterizzazione ovvero vedere se i punti possono essere divisi in sottogruppi in maniera tale che all'interno di ciascun gruppo i vari punti presentino coordinate diciamo vicine.

[boba74]

Lo sapevo che la statistica c'entra qualcosa!!!
Però, quello del coefficiente di correlazione misura appunto la linearità, ossia quanto i punti siano o meno allineati. Mentre il concetto di ordine-disordine dovrebbe essere più generale della semplice disposizione lungo una retta, basta vedere come punti disposti lungo una circonferenza, che pur ordinati avrebbero R=0.
Devo approfondire il discorso della clusterizzazione...

[Valerio Capraro]

[OT]

Se i punti sono molto vicini, allora $C$ e' piccolo e di conseguenza $m(C)$ e' piccola; viceversa se sono lontani.

Falso.

Prendiamo nel piano tre punti \((-1/n^2,0),\ (1/n^2,0),\ (0,n)\): chiaramente quando \(n\) è grande i tre punti sono molto distanti tra loro (infatti la distanza tra il terzo e gli altri due è \(\sqrt{n^2+1/n^4} \approx n\) e tende ad \(\infty\) quando \(n\) cresce); d'altra parte il loro inviluppo convesso è il triangolo isoscele avente vertici nei tre punti, perciò si ha \(m(C) = \frac{1}{n}\), quantità che tende a zero quando \(n\) cresce.

[/OT]

OK, in parte hai ragione, ma in parte no, nel seguente senso: al limite i punti tendono ad allinearsi e quindi e' naturale, almeno per cio' che sembra essere l'intento di boba74m, considerarli ordinati e quindi e' in qualche senso coerente che venga 0.

Resta il fatto che distinguere con un'unica misura allineamenti e vicinanza spaziale non mi sembra una cosa immediata.

[Valerio Capraro]

Potresti rifarti anche a tecniche statistiche. Ad esempio se hai un sieme di dati $(X,Y)=(x_i,y_i)_{i=1...n}$ una misura di come sono "linearizati" i punti è dato dal coefficiente di correlazione $p(X,Y)=(Cov(X,Y))/sqrt(Var(X)Var(Y))$ il quale varia tra -1 e1 e più è vicino agli estremi più c'è linearizzazione. In altre dimensioni valgono ragionamenti simili rispetto ai cosi detti iperpiani di regressione.

Altrimenti potresti pensare a tecniche di clusterizzazione ovvero vedere se i punti possono essere divisi in sottogruppi in maniera tale che all'interno di ciascun gruppo i vari punti presentino coordinate diciamo vicine.

Detto alla romana, visto il tuo nick e le mie origini, non capisco un c**** di statistica! In parole povere, mi potresti spiegare questo coefficiente cosa misura? sembrerebbe una specie di angolo medio formato dai vari vettori...