[SNS 62-63] Disuguaglianza in R

Messaggioda axl9 » 23/02/2012, 15:50

Un altro esercizietto di quelli vecchi (e quindi più facili :-D ) dei test d'ammissione alla SNS.

Testo:
Dimostrare che, presi due numeri reali a e b, si ha sempre:
$a^4+b^4\gea^3b$
Dire quando si ha l’uguaglianza.

La mia soluzione, che apro al confronto perchè sono sicuro che c'era un modo più facile e veloce :D:

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Sia $h = b-a$. L'espressione potrà essere riscritta come $a^4+(a+h)^4\gea^3(a+h)$.
Svolgendo le potenze si otterrà $a^4+3a^3h+6a^2h^2+ah^3+h^4\ge0$
Quindi,
$(a^2+h^2)^2 +ah(3a^2+h^2) +4a^2h^2 \ge 0$
Essendo una somma di quadrati, è facile dire che l'espressione non sarà mai negativa. In particolare per $a=0$ la disuguaglianza si ridurrà a $h^4\ge0$ e per $h=0$ ad $a^4\ge0$.
L'espressione sarà dunque nulla per $a=b=0$ e positiva per qualunque altro valore di $a,b\in\mathbb{R}$


...a voi! :D
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Re: [SNS 62-63] Disuguaglianza in R

Messaggioda Behave! » 23/02/2012, 17:12

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Io distinguerei in tre casi:
Se $a<b$, notiamo che $a^4+b*b^3>=a^3b$ è senz'altro vera. La stessa osservazione si può fare per $a>b$. Per $a=b$, invece, si ha il caso dell'uguaglianza con $0$.

Giusto?
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Re: [SNS 62-63] Disuguaglianza in R

Messaggioda Rigel » 23/02/2012, 17:14

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il secondo termine (quello con \(ah(3a^2+h^2)\)) non è necessariamente positivo.
Io avrei proceduto così (ma forse si può fare più rapidamente):
se \(a=0\) la disuguaglianza è vera e l'uguaglianza vale se e solo se \(b=0\).
Se \(a\neq 0\), dividiamo tutto per la quantità positiva \(a^4\); ponendo \( t= b/a\) si ottiene la disuguaglianza
\[ 1+t^4\geq t.\]
La disug. stretta è verificata sia nel caso \(t\leq 1\) (la verifica è immediata) che nel caso \(t\geq 1\) (in questo caso si usa il fatto che \(t^4 \geq t\) per ogni \(t\geq 1\)).
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Re: [SNS 62-63] Disuguaglianza in R

Messaggioda axl9 » 23/02/2012, 17:49

Rigel ha scritto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Il secondo termine (quello con \(ah(3a^2+h^2)\)) non è necessariamente positivo.
Giusto :oops:
Rigel ha scritto:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Io avrei proceduto così (ma forse si può fare più rapidamente):
se \(a=0\) la disuguaglianza è vera e l'uguaglianza vale se e solo se \(b=0\).
Se \(a\neq 0\), dividiamo tutto per la quantità positiva \(a^4\); ponendo \( t= b/a\) si ottiene la disuguaglianza
\[ 1+t^4\geq t.\]
La disug. stretta è verificata sia nel caso \(t\leq 1\) (la verifica è immediata) che nel caso \(t\geq 1\) (in questo caso si usa il fatto che \(t^4 \geq t\) per ogni \(t\geq 1\)).

Avevo tentato anch'io un approccio simile, solo che arrivato a
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
$1+(b/a)^4\geb/a$
mi sono bloccato.

Morale della favola, ho ancora molto da imparare... e ringrazio tutti per questi confronti :D
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Re: [SNS 62-63] Disuguaglianza in R

Messaggioda xXStephXx » 23/02/2012, 21:18

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Se non erro un altro approccio può essere che dati 4 numeri: \(\displaystyle a,a,a,b \) si ha che la media \(\displaystyle p-esima \) con \(\displaystyle p = 4 \) è maggiore o uguale alla media geometrica..
E dunque: \(\displaystyle \sqrt[4]{\frac{a^4+a^4+a^4+b^4}{4}} \geq \sqrt[4]{a^3b}\)
\(\displaystyle \frac{3a^4+b^4}{4} \geq a^3b\)
Quindi abbiamo:
\(\displaystyle a^4+b^4 \geq \frac{3a^4+b^4}{4} \geq a^3b\)
Questo se \(\displaystyle a^3b \) è positivo, ma se fosse negativo il problema manco si pone.
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Re: [SNS 62-63] Disuguaglianza in R

Messaggioda NoRe » 20/11/2012, 18:13

Ho provato anche io a svolgerlo ( finalmente una giornata senza orali vari :D )e ho trovato questa soluzione

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
se una delle due variabili è uguale a 0 allora l'eguaglianza è verificata, infatti 0=0 lol
se a e b sono discordi il 2 membro della disuguaglianza è negativo, quindi la disuguaglianza è verificata.
Se a e b sono concordi posso dividere entrambi i membri per la quantità $a^3b$


la disuguaglianza pertanto diventa :

$ a/b+ b^3/a^3 > 1 $
posto $r=b/a$ naturalmente b

$1/r+r^3>1 $

Ora ho proceduto probabilmente in un metodo molto spartano :D ( si accettano consigli sulle equazioni in cui compaiono potenze con esponente superiore a 2 perchè praticamente non ne so nulla... )
Tornando a noi, avendo considerato il caso in cui a e b sono concordi la somma
$1/r+r^3>1 $
è maggiore di uno se uno dei due addendi è maggiore di uno.
Ma
$r^3>1$ se e solo se $r>1$
e $1/r<1$ se e solo se $0<r<1$ infatti essendo a e b concordi il rapporto è positivo.

quindi per ogni b/a l'equazione è vera...

In base a questo e a quanto visto prima la disuguaglianza è valida per ogni coppia di a;b appartenenti ad R...


va bene o è un po' contorta?
Consigli sulle potenze ad espondente superiore a 2? merci!
..innumerevoli banchi di nebbia e ghiacci creano ad ogni istante l'illusione di nuove terre e, generando sempre nuove ingannevoli speranze nel navigante che si aggira avido di nuove scoperte, lo sviano in avventurose imprese che non potrà né condurre a buon fine né abbandonare una volta per sempre..
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Messaggioda j18eos » 25/11/2012, 15:03

@xXStephXx C'è una radice quarta di troppo!

@NoRe Nulla da contestare; se mi si consente e senza offesa, la tua è la versione rozza della dimostrazione di Rigel.
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
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Re: [SNS 62-63] Disuguaglianza in R

Messaggioda NoRe » 25/11/2012, 17:25

effettivamente quella di Rigel è più elegante e lineare... anche io l'avevo portata nella sua forma, ma non sapendo poi dove andare a sbattere ho optato per una soluzione più 'casereccia' :D
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Re: [SNS 62-63] Disuguaglianza in R

Messaggioda theras » 28/11/2012, 12:00

Così,a naso..ma non potrebbe essere utile determinare,fissato a piacere $overline(a) inRR$,
il punto di minimo(obbligatoriamente assoluto..)della $f(x)=x^4-a^3x+a^4:RR to RR$:
non ho fatto i conti,nè tanto meno ragionato per bene se aiuti a risolvere le seconda parte del quesito,
ma forse ci se la cava con poco..
Saluti dal web.
E' meglio non amare troppo la Matematica:
è più Lei a dover amare te.
Renato Caccioppoli(attribuito).
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