Uguaglianza

[axpgn]

Forse non ci avete mai fatto caso ma accade che $sqrt(2 2/3)=2sqrt(2/3)$ dove la scrittura $2 2/3$ significa $2+2/3$ come si usava una volta nei tempi andati (neanche poi tanto )

Quante altre equazioni come questa ci sono?



Cordialmente, Alex

[j18eos]

Non l'ho capìta!

Se poi vogliamo buttarla in barzelletta, ci sono dei threads adatti ed aperti nella stanza Generale.

[axpgn]

È possibile interpretare la frase "equazioni come questa" in quattro modi diversi (almeno):

1) $sqrt(n+n/(n+1))=n*sqrt(n/(n+1))$

2) $sqrt(m+n/(n+1))=m*sqrt(n/(n+1))$

3) $sqrt(n+p/q)=n*sqrt(p/q)$

4) $sqrt(n+x)=n*sqrt(x)$

Quante soluzioni esistono per ciascun tipo? Perché?

Il testo è volutamente poco specifico per invogliare l'interlocutore ad approfondire un po' di più la questione


Cordialmente, Alex

[giammaria]

Comincio con il punto 4 perchè ne userò il risultato per gli altri, che sono suoi casi particolari.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

4) Rimandando a dopo la discussione, elevo a quadrato ed ottengo
$n+x=n^2x->x=n/(n^2-1)$
La discussione dice che ci sono soluzioni solo se $n>=0; n!=+-1$. Il caso $n=0->x=0$ è banale e lo trascuro qui e dopo; resta la limitazione $n>=2$ che considererò sempre come implicita.
Noto che la frazione ottenuta non è semplificabile per nessun valore di $n$.
Noto anche che dalla limitazione consegue $0<x<1$, rendendo accettabile la notazione senza il segno più, che viene fatta solo con frazioni inferiori all'unità.
In questo caso ci sono infinite soluzioni, una per ogni valore accettabile di $n$.

1) Deve essere
$x=n/(n+1)->n/(n^2-1)=n/(n+1)->n^2-1=n+1$
e l'unica soluzione accettabile è $n=2$: una sola soluzione.

2) Per usare comodamente il punto 4, nell'enunciato scambio fra loro $m,n$. Deve allora essere
$x=m/(m+1)->n/(n^2-1)=m/(m+1)$
ed entrambe le frazioni non sono mai semplificabili; la seconda dice che il denominatore supera di 1 il numeratore, quindi
$n^2-1=n+1$
ed anche qui l'unica soluzione accettabile è $n=2$: una sola soluzione.

3) Deve essere
$x=p/q->p/q=n/(n^2-1)$
La frazione a secondo membro non è scomponibile; se chiediamo che lo sia anche quella a primo membro, deve essere $p=n;q=n^2-1$: infinite soluzioni, una per ogni valore accettabile di $n$. Se invece accettiamo anche frazioni sconponibili, questi valori possono essere moltiplicati per $k$: per ognuna delle infinite soluzioni precedenti ce ne sono altre infinite per $p,q$.

[axpgn]

Bravo!