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Cerchiamo di mostrare che
$ \cos(\sin x) > \sin(\cos x)$
per $0 < x < \pi/2 $.
Fuori da questo intervallo le funzioni si ripetono con facili simmetrie.
Per $x=0$ e' facile vedere che $cos(0) = 1 > sin (1)$. Per $x=\pi/2$ vale un ragionamento simile.
Siccome $|\sin x| \le 1 < \pi/2$
allora $\cos(\sin x) > 0$
e quindi possiamo fare il quadrato dei membri.
$ \cos^2(\sin x) > \sin^2(\cos x)$
------------------------------------------------
Introduciamo
$ \cos^2(\sin x) > cos^2 x > \sin^2(\cos x)$
e cerchiamo di verificare le due disuguaglianze separatamente
-----------------------------------------------------------
Siccome il coseno e' monotono discendente, verificare
$ \cos^2(\sin x) > cos^2 x$
e' equivalente a dimostrare
$ \sin x < x$,
che e' noto dalla trigonometria.
-----------------------------------------
Per la seconda parte
$ cos^2 x > \sin^2(\cos x)$
facciamo la sostituzione $x -> \pi/2 - y$
$ cos^2 (\pi/2 - y) > \sin^2(\cos (\pi/2 - y))$
$ sin^2 y > \sin^2(\sin y)$
Siccome il seno e' monotono crescente l'ultima disuguaglianza e' equivalente a
$ y > \sin y$,
noto dalla trigonometria.
$ \cos(\sin x) > \sin(\cos x)$
per $0 < x < \pi/2 $.
Fuori da questo intervallo le funzioni si ripetono con facili simmetrie.
Per $x=0$ e' facile vedere che $cos(0) = 1 > sin (1)$. Per $x=\pi/2$ vale un ragionamento simile.
Siccome $|\sin x| \le 1 < \pi/2$
allora $\cos(\sin x) > 0$
e quindi possiamo fare il quadrato dei membri.
$ \cos^2(\sin x) > \sin^2(\cos x)$
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Introduciamo
$ \cos^2(\sin x) > cos^2 x > \sin^2(\cos x)$
e cerchiamo di verificare le due disuguaglianze separatamente
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Siccome il coseno e' monotono discendente, verificare
$ \cos^2(\sin x) > cos^2 x$
e' equivalente a dimostrare
$ \sin x < x$,
che e' noto dalla trigonometria.
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Per la seconda parte
$ cos^2 x > \sin^2(\cos x)$
facciamo la sostituzione $x -> \pi/2 - y$
$ cos^2 (\pi/2 - y) > \sin^2(\cos (\pi/2 - y))$
$ sin^2 y > \sin^2(\sin y)$
Siccome il seno e' monotono crescente l'ultima disuguaglianza e' equivalente a
$ y > \sin y$,
noto dalla trigonometria.