Potenza di $2$

[axpgn]

Provare che esiste una potenza di $2$ la cui espressione decimale inizi con tre nove ovvero $2^n=999.....$



Cordialmente, Alex

[Quinzio]

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Allora, direi che si puo' dimostrare in questo modo, anche se come sempre ci sara' una soluzione piu' diretta.

Se ad esempio il numero da cercare risultasse di 10 cifre, il numero avrebbe questi estremi:
9990000000 - 9999999999.

Ora, non esiste una potenza del 10 che sia anche una potenza del 2.
Questo siccome
$10^a = 2^b$
$a/b = log_10 2$
non esistono $a,b$ interi siccome $log_10 2 $ e' irrazionale.
(Oppure perche' una potenza del 10 contiene il fattore 5, che non e' contenuto in una potenza del 2).

Quindi possiamo estendere gli estremi del nostro esempio a
9990000000 - 10000000000.

Dobbiamo quindi cercare $a$ e $b$ interi, tali per cui:

$k\ 10^a = 2^b$

con $k \in [0.999, 1]$

Prendendo i logaritmi

$-m + a = b log_10 2$ ovvero
$a = b log_10 2 + m$

$m$ e' compreso in $[0, log_10 (1/0.999)]$.

Quindi $m$ e' un numero reale positivo, che comunque e' piccolo e $<1$,
che puo' variare nel suo intervallo.

Ora, attraverso il teorema di approssimazione di Dirichlet
https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet ... on_theorem
si dimostra che per ogni intervallo di $m$ piccolo a piacere la coppia di interi $a$ e $b$ esiste sempre.

Ad esempio il primo di questi numeri e' $2^9029$.

In realta' ne esitono infiniti di questi numeri, e la sequenza di 9999.... iniziali puo' essere lunga a piacere.

[axpgn]

Sostanzialmente sì,

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La richiesta del problema si può formalizzare così $999*10^k<=2^n<10^(k+3)$ ossia vanno trovati due naturali che soddisfino tale disequazione, la quale può essere riscritta equivalentemente così $k+log_10(999)<=nlog_10(2)<k+3$.
E che esistano $n$ e $k$ naturali che la soddisfino si può dimostrare con il principio dei cassetti.

Cordialmente, Alex