Famoso prob. dell'ombra di un cubo unitario e relazione con il prodotto scalare

[Gandalf73]

Carissimi,
ho affrontato un problema relativo all'ombra di un cubo di lato unitario, trovando bellissime ed argute soluzioni.Tutte molto chiare .
In un articolo di una rivista ho trovato però una frase agganciata ad una dimostrazione che fa da preambolo alla risoluzione del problema di Rupert e che indirettamente sfiora il discorso delle ombre. A seguire le 5 righe estrapolate dall'articolo.
"E' noto che il prodotto scalare tra un vettore unitario del bordo (del cubo) e un vettore unitario verticale ha 2 significati geometrici. Da una parte è uguale all'area dell'ombra di quella faccia che è perpendicolare al medesimo vettore unitario del bordo e dall'altra è uguale alla lunghezza della proiezione perpendicolare
di quest'ultimo sull'asse z" .
Lasciando perdere la seconda parte del ragionamento riferita alla proiezione, certamente chiara, il primo asserto però, proprio non riesco a figurarmi cosa possa intendere.
Non è che per caso c'è di mezzo il prodotto vettoriale?
Spero di aver esposto chiaramente il mio dubbio.
Un saluto e grazie a tutti.

[Quinzio]

Spero di aver esposto chiaramente il mio dubbio.

mmm...

E' questa la frase che ti mette in dubbio ?

Da una parte è uguale all'area dell'ombra di quella faccia che è perpendicolare al medesimo vettore unitario del bordo

Possiamo far un esempio.
Prendiamo un quadrato nello spazio 3D euclideo di area 1 e di vertici
$(0,0,0)$
$(0,1,0)$
$(1/2,0,\sqrt3 /2)$
$(1/2,1,\sqrt3 /2)$

Per sapere l'area dell'ombra prendiamo solo le prime due coordinate di ogni punto ovvero facciamo la proiezione:
$(0,0)$
$(0,1)$
$(1/2,0)$
$(1/2,1)$
L'area dell'ombra e' $1/2$

E il vettore unitario perpendicolare e' $(-\sqrt3 /2, 0, 1/2)$

La componente $z=1/2$ del vettore e' pari all'ombra.

Non so se questo esempio ti aiuta...

[Gandalf73]

Ciao Quinzio,
in primis grazie per la risposta.
Ti riporto in virgolettato esattamente l'estratto dell'articolo che mi ha messo una confusione bestiale:

"A well known property of the cube. It is noticed that the dot product of a unit edge vector and the vertical unit vector has two geometric meanings. On the one hand, it is equal to the area of the shadow of that face which is perpendicular to the unit edge vector. On the other hand, it is equal to the length of the perpendicular projection of the unit edge vector on the z-axis."

Non riesco a scorgere questa proprietà dal prodotto scalare...
Un saluto e ...grazie qualora riuscissi a capirci di più.
A.

[Quinzio]

Ok, ti avevo fatto un esempio, l'hai letto, l'hai capito ? Se non e' chiaro dimmelo.

[Quinzio]

Possiamo far un esempio.
Prendiamo un quadrato nello spazio 3D euclideo di area 1 e di vertici
$(0,0,0)$
$(0,1,0)$
$(1/2,0,\sqrt3 /2)$
$(1/2,1,\sqrt3 /2)$

Per sapere l'area dell'ombra prendiamo solo le prime due coordinate di ogni punto ovvero facciamo la proiezione:
$(0,0)$
$(0,1)$
$(1/2,0)$
$(1/2,1)$
L'area dell'ombra e' $1/2$

E il vettore unitario perpendicolare e' $(-\sqrt3 /2, 0, 1/2)$

La componente $z=1/2$ del vettore e' pari all'ombra.

Vediamo la frase della dimostrazione:

"A well known property of the cube. It is noticed that the dot product of a unit edge vector and the vertical unit vector

Nel mio esempio il "dot product" e' questo:
$(-\sqrt3 /2, 0, 1/2) \cdot (0,0,1) = 1/2$

has two geometric meanings. On the one hand, it is equal to the area of the shadow of that face which is perpendicular to the unit edge vector.

Nel mio esempio l'ombra ovvero la proiezione sul piano xy e' questa:
$(0,0)$
$(0,1)$
$(1/2,0)$
$(1/2,1)$
L'area dell'ombra e' $1/2$

On the other hand, it is equal to the length of the perpendicular projection of the unit edge vector on the z-axis."

Nel mio esempio prendi sempre il vettore unitario $(-\sqrt3 /2, 0, 1/2)$ e si "estrae" la componente $z$, ovvero $1/2$.

[Gandalf73]

Si , messo così è molto chiaro.
Il vettore edge unitario ha la componente y=0 (quindi piano xz), l'ombra è sul piano xy quindi ortogonale al vettore di cui sopra...ho interpretato bene?:-)
Comunque vedere il prodotto scalare così...per me è una novità assoluta.
Nel senso che sono sempre stato abituato ad immaginarlo come la proiezione di un vettore sull'altro (espresso appunto come il prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo tra essi).
Mi arrovellavo ad immaginare questo risultato come la parte finale di vari step (indicati nell'enunciato) con scarso risultato se non la confusione nel ragionamento.
Grazie ancora per il preziosissimo supporto!
A.

ps ma lo "unit edge vector" (ortogonale), lo si calcola come il prodotto vettoriale di quali vettori? Forse ho capito dove mi confondevo!Mi sa che scambiavo quelli che delimitano il quadrato con quelli che delimitano l'ombra del quadrato stesso sul piano orizzontale....temo che l'errore sia stato quello.