Calzini

[axpgn]

Ci riprovo ...

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Metti due paia di calzini in lavatrice: in totale ci sono 4 calzini in lavatrice.
Ne prendi uno: adesso hai 3 (tre) MODI per scegliere il secondo, NON solo DUE.

[Quinzio]

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Va bene Alex, d'accordo.
Vai avanti. Come si conclude il calcolo ?
Io ho il sospetto che alla fine, anche considerando i due calzini dello stesso colore come "diversi", il risultato alla fine sia lo stesso, che e' quello che ho dato.
Se consideri i due calzini dello stesso paio come distinti avrai che il numeratore e il denominatore della frazione Fib(n+1)/n! vengono moltiplicati per uno stesso fattore e quindi il risultato finale non cambia.
In tutto questo resta inteso che il confronto del colore viene fatto solo sulla base del colore.
Ad es il paio 3a4b e' accettabile, cosi' come il paio 3b4a e 3b4b, ecc...
Il testo del problema parla solo di colori.
E' secondo me e' corretto cosi'. L'esempio dei calzini ricorre spesso nell'immaginario dei problemi di combinatoria come coppia di oggetti non distinguibili.
Anche Bertrand Russell, per spiegare l'assioma della scelta, ricorre all'esempio dei calzini come paio di oggetti non distinguibili, al contrario delle scarpe che sono destra e sinistra.
The Axiom of Choice is necessary to select a set from an infinite number of pairs of socks, but not an infinite number of pairs of shoes.
 Bertrand Russell

Comunque, Russell a parte, andiamo avanti, abbiamo i calzini 1a e 1b.
Non so, come va a finire ?

[axpgn]

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Stiamo parlando di probabilità e mi pare che tu non stia utilizzando nel modo giusto il concetto di indistinguibilità.
Per esempio se metto due palline bianche in un urna con alcune palline nere e poi ne estraggo una bianca, la probabilità di estrarne un'altra bianca dipende da quante nere ci sono; eppure sono indistinguibili!
Tornando ai calzini, ne metto in lavatrice tre paia di tre gradazioni diverse (6 oggetti: 1a, 1b, 2a, 2b, 3a, 3b).
Per semplicità ma senza perdere di generalità (provare per credere) supponiamo che il primo calzino estratto sia 1a; i 5 rimasti possono essere estratti in 120 modi diversi (permutazioni di 5 oggetti).
Delle 120 combinazioni di tre paia che si formano, 40 combinazioni sono accettabili (ovvero non contengono coppie 1-3), le altre 80 non lo sono.
Probabilità $1/3$

[buggy4]

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$p=\frac{187}{3628800 }$?

[axpgn]

No.

[Quinzio]

Stiamo parlando di probabilità e mi pare che tu non stia utilizzando nel modo giusto il concetto di indistinguibilità.

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A me invece sembra di prendere la situazioni piu' generica possibile, ovvero partendo dalle coppie gia' formate.
Quello che fai tu e' aggiungere un processo, quello di formazione delle coppie, che non e' richiesto e di cui non si sa nulla.

Oppure ad esempio, invece che di calzini si potrebbe parlare di un iper-cubo 10D, e le 20 facce 9D, prese a due a due opposte, sono le coppie.
Ad ogni faccia 9D viene associata una sfumatura e si guarda quanti cubi sono accettabili.
In questo caso non c'e' nessun processo di formazione delle coppie, i cubi nascono gia' formati, non c'e una faccia A e una faccia B.
Un cubo che si puo' ottenere da un altro cubo per rotazione o simmetria, e' di fatto lo stesso cubo.

[axpgn]

Per me sei partito per la tangente, diventi sempre più complicato

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Metti i sei calzini in lavatrice (1a, 1b, 2a, 2b 3a, 3b).
Supponiamo tu estragga il calzino 1a; in lavatrice rimangono i calzini 1b, 2a, 2b, 3a, 3b; ora sarà pure vero che i calzini del colore 3 sono indistinguibili ma la probabilità di estrarre un calzino di colore 3 è DOPPIA di quella di estrarre un calzino di colore 1.
O non sei d'accordo?
Quindi la probabilità di avere una coppia 1-3 [non accettabile] è doppia rispetto a quella di averne una 1-1 [accettabile].
Non ti pare?

[Per il calcolo esatto occorre considerare i calzini di colore 2 ma era solo per esemplificare]

[axpgn]

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Quello che fai tu e' aggiungere un processo, quello di formazione delle coppie, che non e' richiesto e di cui non si sa nulla.

Questo mi pare uno sbaglio grossolano: il cuore di questo problema consiste proprio nell'APPAIARE CALZINI e mi dici che non c'entra nulla e non è richiesto?