Per \(k \ge 2\) si ha: \[
\begin{aligned}
& 1 \le \left(1\cdot 1\cdots 1\cdot\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}\right)^{1/k} \le \frac{1+1+\dots+1+\sqrt{n}+\sqrt{n}}{k} \\
\\
& 1 \le n^{1/k} \le \frac{k-2+2\sqrt{n}}{k} \\
\\
& \sum_{k=2}^n 1 \le \sum_{k=2}^n n^{1/k} \le \sum_{k=2}^n \frac{k-2+2\sqrt{n}}{k} \\
\\
& n-1 \le \sum_{k=1}^n n^{1/k}-n \le \sum_{k=1}^n \frac{k-2+2\sqrt{n}}{k}+1-2\sqrt{n} \\
\\
& 2n-1 \le \sum_{k=1}^n n^{1/k} \le n-2H_n+2\sqrt{n}\,H_n+1-2\sqrt{n}+n \\
\\
& \frac{2n-1}{n} \le \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n n^{1/k} \le \frac{2n-2(1-H_n)\sqrt{n}+1-2H_n}{n} \\
\end{aligned}
\] Siccome: \[
\lim_{n\to\infty}\frac{2n-1}{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n-2(1-H_n)\sqrt{n}+1-2H_n}{n}=2
\] per il teorema del confronto: \[
\boxed{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n n^{1/k}=2\,}
\]Volendo vedere che succede graficamente, in
Mathematica possiamo scrivere:
- Codice:
ListPlot@Table[NSum[n^(1/k - 1), {k, n}], {n, 1000}]
ed effettivamente si può intuire che, seppur raggiungibile lentamente, il limite può essere \(2\).