Pratical numbers

[axpgn]

A natural number $n$ is pratical if and only if, for all $k<=n$, $k$ is the sum of distinct proprer divisors of $n$.

All even perfect numbers are pratical.

In fact, wheter or not the number $2^n-1$ is a prime number, the number $m=2^(n-1)(2^n-1)$ is pratical for all $n=2, 3, 4, ...$

Prove.


Cordialmente, Alex

[dan95]

Un’ idea:

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Considerare tutti i numeri $<n$ in base due e sfruttare la forma dei numeri perfetti pari, cioè con i divisori $2^i $ e $2^i (2^n-1)$ posso scrivere tutti i numeri della forma

$$ a_0 + a_1 2 + a_2 2^2 + \cdots + a_{2n-2} 2^{2n-2}$$

con $a_i \in {0,1}$.

[axpgn]

Come?

[dan95]

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Osserviamo che per tutti i $k < 2^n$ possiamo usare i divisori propri della forma $2^i$ con $i=1, \cdots, n-1$, invece per scrivere i numeri compresi tra $2^n +1$ e $2^{n-1}(2^n-1)$ possiamo procedere come segue:

$2^n \leq (2^n-1)+k \leq 2^{n+1}-2$ con $1 \leq k \leq 2^{n}$ (scrivibile per l’ osservazione di prima)

$2^{n+1}-1 \leq 2(2^{n}-1)+k \leq 2^{n+2} - 4$ con con $1 \leq k \leq 2^{n+1}-2$ (scrivibile per il punto precedente)

in generale

$2^{n+i}- 2^{i}+1 \leq 2^i (2^{n}-1) +k \leq 2^{n+i+1} -2^{i+1}$

…

$2^{2n-2}-2^{n-2}+1 \leq 2^{n-2}(2^n-1)+k \leq 2^{2n-1}-2^{n-1}=2^{n-1}(2^{n}-1)$

[axpgn]

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Osserviamo che per tutti i $k \leq 2^n$ possiamo usare i divisori propri della forma $2^i$ con $i=1, \cdots, n-1$,

No, casomai $k<2^n$

[dan95]

Hai ragione saggio Alex… il resto torna?

[axpgn]

Sì, mi pare di sì, mi sembra analogo a quello che ho io.