Somma razionale

[Erasmus_First]

$m=2,n=10$ [...].

Bravo Pachisi!
E grazie. [Io non li vedevo! ]
Due domande, per sapere:
a) Nell'esempio k = 2 e A = 3/5 ci sono altre soluzioni oltre a questa?
b) Dati A razionale positivo arbitrario e k intero maggiore di 1 arbitrario, c 'è sempre almeno una soluzione?

Grazie in anticipo!
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[xXStephXx]

a) Nell'esempio k = 2 e A = 3/5 ci sono altre soluzioni oltre a questa?
b) Dati A razionale positivo arbitrario e k intero maggiore di 1 arbitrario, c 'è sempre almeno una soluzione?

a) non mi risultano altre
b) direi di no, altrimenti ce ne sarebbero infinite

[Pachisi]

a) Se consideri $m=10,n=2$ diversa, allora c'e` quella.
b) C'e` sempre almeno una soluzione se $k$ non e` fissato.

@xXStephXx: Dici puo` funzionare l'idea che ho messo nel messaggio dopo la dimostrazione per induzione?

[xXStephXx]

su quella il dubbio che mi rimaneva è se si può concludere davvero in quel modo. Cioè $1/x + a/b = A$ con $A$ fissato, $x$ variabile, $a$ e $b$ variabili ammette davvero un numero finito di soluzioni?

[Pachisi]

Capisco...
Pero` un po` mi rimane il dubbio. Ci sono solo un numero finito di numeri razionali $a/b$ che funzionano e quindi un numero finito di $x$ che funzionano...
Non so, forse dovrei dimostrare che ognuna delle $a/b$ ha un numero finito di soluzioni, che e`, pero`, il problema iniziale.
Grazie per la pazienza.

[xXStephXx]

Capisco...
Pero` un po` mi rimane il dubbio. Ci sono solo un numero finito di numeri razionali $a/b$ che funzionano e quindi un numero finito di $x$ che funzionano...

Questo dovrebbe bastare. Ma ad esempio come risolvi $1/(amx)+1/(mb)=1/(an)$ con $a,b,x$ incognite? Da quel che ho capito non si sa sin da prima se gli $a/b$ sono finiti no? Quindi vanno trattati come incognite giusto?

[Pachisi]

Ma tu sai che gli $a/b$ sono finiti: $A$ e` un razionale fissato, quindi ci sono solo un numero finito di razionali $a/b$ tali che $A-a/b$ risulti in un razionale con numeratore pari ad $1$.

[xXStephXx]

Allora mi ero perso qualcosa prima, come sai che gli $a/b$ sono finiti? Apparentemente $A-1/n$ può generare un $a/b$ valido per ogni $n$ no?

[Pachisi]

Giusto, hai ragione tu...
Mi ero perso io nel mio ragionamento
Grazie per la pazienza

[dan95]

Aggiungerei una condizione necessaria alquanto ovvia affinché un razionale $r=\frac{m}{n}$ possa essere scritto come somma di $k$ termini di quel tipo e cioè che $\frac{r}{k} \leq 1$. Se si dimostrasse che ogni razionale $r=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ per opportuni interi $x,y$ (equivale a dimostrare che $(mx-n)(my-n)=n^2$ ammette sempre soluzioni intere positive per ogni $m,n$ coprimi) allora per $k \geq 3$ l'equazione di Steph ha infinite soluzioni. Comunque non mi pare un problema banale.