$d_3^2+d_4^2= 2n+1$

[axpgn]

... La cosa più interessante che c'è nel risolvere un problema è il modo con cui lo si risolve. ...

Alessandro Magno non sarebbe d'accordo

Cordialmente, Alex

[orsoulx]

$ d_3^2+d_4^2= 2n+1 $

Con tutto il rispetto, ma che senso ha mettere solo la soluzione finale?

Quando mi pongono una domanda ritengo corretto rispondere nel modo più prossimo possibile al suo significato letterale.
A: "Quanto può valere n?"; rispondo con tutti e soli i valori accettabili di n, a mio avviso, esistenti.

Un po' più di educazione, per favore.

Le chiedo scusa se, involontariamente, ho suscitato impressioni errate. Non intendevo mancarle di rispetto.
Qualora esistano delle gerarchie a cui le relazioni interpersonali debbano sottostare la prego di comunicarmelo esplicitamente.
Cordialmente

[Gi8]

Cioè, uno pone un problema e tu dai la risposta mettendo solo il risultato finale.
Che contributo dai alla discussione? Ricordo che siamo nella sezione "Scervelliamoci un po' "
Per quanto ne so, potresti avere cercato su internet la soluzione del problema per poi ricopiarla qui,
oppure potresti avere fatto solo qualche tentativo (tipo fino a $n=30$).

Se non illustri il procedimento, quella soluzione per me è incompleta.

Ma forse sbaglio io.

PS: non darmi del lei, qui sul forum ci si dà del tu

[orsoulx]

Va bene. La pensiamo diversamente, ma questo non è un problema. Quando e se avrò ancora voglia di rispondere ad un tuo problema indicherò anche il procedimento adottato.
Ciao e grazie

[Erasmus_First]

Riassumendo, occorre trovare i numeri interi $n$ (e – secondo chi ha proposto il quiz – spiegare come) che abbiano almeno 4 divisori – diciamoli in ordine crescente $d_1$, $d_2$, $d_3$ e $d_4$ – tali che risulti:
$d_3^2 + d_4^2 = 2n+1$. (*)

Discussione
E' sempre $d_1 = 1$.
$d_3$ e $d_4$ devono per forza essere uno pari e uno dispari dato che $2n+1$ è dispari.
Allora il $d_2 = 2$ e quindi $d_3 > 2$ $^^$ $d_4 > d_3$.

a) Supponiamo che $d_3$ e $d_4$ siano due numeri consecutivi, cioè
$d_4 - d_3 = 1$. (**)
Elevando al quadrato i membri di questa uguaglianza si trova:
$d_4^2 + d_3^2 - 2 d_4d_3 = 1 =>2n+1 -2d_4d_3 = 1 => d_3d_4 = n$.
In tal caso il numero $n$ deve essere divisibile per 4 se no $d_3$ e $d_4$ non potrebbero essere consecutivi.
Ma allora o $d_3$ o $d_4$ è proprio 4.
Il numero $n$ potrebbe essere divisibile per 3 e allora
$d_3 = 3$, $d_4 = 4$, $d_3d_4 = n = 12$.
Oppure non essere divisibile per 3 e allora, dovendo essere $d_4 = d_3 + 1$:
$d_3 = 4$, $d_4 = 5$, $d_3d_4 = n = 20$.

b) Supponiamo che $n$ sia divisibile per 4 – e allora sia $p = n/4$ – ma non per 3 né per 5.
Allora è $d_3 = 4$, $n = 4*p$ e dovrebbe essere
$d_4 = 5 + 2∆$,
con ∆ intero positivo.
Abbiamo quindi:
$4^2 + (5 + 2∆)^2 = 2n + 1 = 2·(4p) + 1 => 16 + 25 + 20∆ + 4∆^2 = 8p + 1 =>$
$ => p = 5 + 2∆ + (∆(∆+1))/2 = d_4 + (∆(∆+1))/2$.
Ora $p$ dovrebbe essere divisibile per $d_4$, e quindi o $∆$ o $∆+1$ dovrebbe essere divisibile per $d_4 = 5 + 2∆$: cosa impossibile essendo $d_4$ maggiore sia di $∆$ che di $∆+1$.

Pertanto, da a) e b) viene che se $n$ è divisibile per 4, $n$ è soluzione del quiz solo se vale 12 o se vale 20.
[In entrambi i casi i divisori $d_3$ e $d_4$ sono interi consecutivi].

c) Supponiamo che $n$ non sia divisibile per 4 (e quindi che $d_3$ e $d_4$ non siano interi consecutivi).
$d_3$ dovrebbe comunque essere il più piccolo primo dispari divisore di $n$, diciamolo $p$. Ma allora $d_4$, dovendo essere pari, dovrebbe essere per forza $2d_3 = 2p$,
Si avrebbe allora $d_3^2 + d_4^2 = p^2 + 4p^2 = 5p^2 = 2n+1 => 2n = 5p^2 –1$, che non va bene perché $n$ dovrebbe essere divisibile per $p$ ed invece la divisione di $2n = 5p^2-1$ per $p$ dà per resto $p-1$.

In conclusione, le uniche soluzioni sono $n = 12$ e $n = 20$.
_______