Funziona a tratti sì ed a tratti no!

[j18eos]

Per caso riesci a farla senza passare dal fatto che ogni sottoinsieme di $RR$ ammette l'estremo superiore? Quindi neanche usarlo in modo mascherato, tipo col teorema dei valori intermedi...

In maniera elementare: no!

Domanda seria: io alle scuole (ex) superiori ho studiate queste cose, oggi si studiano ancora?

[xXStephXx]

Non ricordo bene Ma forse erano dimostrazioni del tipo: "Weierstrass è intuitivo", "quello dei valori intermedi è ovvio visto che devi passare da un estremo all'altro senza staccare la matita dal foglio"

[j18eos]

Però Weierstrass non è intuitivo.

[xXStephXx]

Si faceva solo il caso con funzioni continue da un intervallo di $R$ a $R$ e si dava una dimostrazione Però non ricordo se era del tutto rigorosa. Da qualche parte, in qualche modo, si assumevano fatti delicati (ma molto intuitivi) senza puntualizzarne la delicatezza xD

[j18eos]

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Quello che volevo dire, è facile costruire funzioni continue su un intervallo \(\displaystyle]a,b[\) non limitate, e.g.:
\[
f(x)=\frac{1}{(x-b)(x-a)};
\]
la parte non intuitiva, è capire che le funzioni continue su un intervallo \(\displaystyle[a,b]\) sono limitate.