Diofantea Quadratica

[Pachisi]

Trovare tutte le soluzioni intere di $c^2+1=(a^2-1)(b^2-1)$.

[robbstark]

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Una sola soluzione? (discesa infinita)

[orsoulx]

robbstark dice bene: è questione di parità.

[dan95]

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$a$ e $b$ devono essere entrambi divisibili per 6, infatti, supponiamo che almeno uno dei due sia dispari e non divisibile per 3 allora $c^2+1$ sarebbe divisibile per 12, ma $x^2 \equiv -1 modo 12$ non è risolubile e da qui si procede con quest'ipotesi e vien fuori la discesa infinita.

[Pachisi]

Ok

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Si puo` anche fare con $mod 4$

[robbstark]

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Avevo fatto mod4

[aizarg]

a e b devono essere entrambi divisibili per 6, infatti, supponiamo che almeno uno dei due sia dispari e non divisibile per 3 allora c2+1 sarebbe divisibile per 12

dans95 scusami ma non ho capito bene il tuo ragionamento ( colpa mia ) potresti spiegarmelo un pò meglio ?
Grazie

[aizarg]

@dans95
Non mi è ancora chiaro il tuo ragionamento ( sicuramente esatto ). Hai dimostrato che $a$ non può essere un numero dispari non divisibile per $3$, che equivale a dire che $a$ è pari oppure divisibile per $3$, che non implica che $a$ sia divisibile per $6$.

[dan95]

Scusami per la risposta in ritardo

Supponiamo che uno dei due non sia divisibile per 3, ad esempio $a$ allora (per il piccolo teorema di Fermat) $a^2-1$ è divisibile per 3, ma se lo è, a maggior ragione lo sarà anche $c^2 +1$ ma ciò non è vero poiché (sempre per Fermat) $c^2 \equiv 1 \mod 3$

E se uno dei due non è pari?
Ad esempio sempre $a$ allora $a^2-1=(a+1)(a-1)$ è divisibile per 4, ma $c^2 \equiv 1 \mod 4$
Concludo che $a$ e $b$ devono essere entrambi divisibili per 6

[aizarg]

@dans95
Grazie per la tua risposta, finalmente mi è tutto chiaro.
Complimenti.