Piramide con sfere

[VisX]

Un solido è formato da una piramide di altezza $ H=15 $ avente per base un quadrato di lato $ L=30 $ con incastrate cinque sfere di raggio $ R=5 $ in modo che i loro centri coincidano con i vertici della piramide. Qual è il volume del solido?

[Erasmus_First]

Siano $α$, $β$ e $γ$ gli angoli interni di un triangolo sferico. E' noto che il corrispondente angolo solido Ω al centro vale
$Ω= α + β + γ - π$.
Ad esso corrisponde la frazione $Ω/(4π)$ del volume della sfera.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Il volume di un "cuneo" sferico (intersezione di un angoloide con una sfera col centro nel vertice dell'angoloide) di angolo solido al centro $Ω$ è ovviamente la frazione $Ω/(4π)$ del volume della sfera. Gli angoli d'un triangolo sferico sono gli angoli diedri del corrispondente angoloide triedro.
Nella data piramide di base quadrata, fatti i conti, la sfera con centro nel vertice della piramide la interseca in un "cuneo" con angoloide tetraedro di angoli diedri uguali ciascuno dei quali vale $(2π)/3$ rad; una delle quattro sfere con il centro in un vertice della base della piramide la interseca in un "cuneo" con angoloide triedro che ha un diedro ampio $(2π)/3$ rad e gli altri due $π/4$ rad ciascuno.
L'angolo solido del vertice della piramide è dunque, (dividendo il "quadrato sferico" in due triangoli sferici):
$Ω_V = 2·{[(2π)/3 + π/3 + π/3]–π} = (2π)/3$ (steradianti).
L'angolo solido di ciascuno dei 4 vertice della base della piramide è:
$Ω_B = [(2π)/3 + π/4 + π/4]–π = π/6$ (steradianti).
La somma dei 5 angoli solidi è $Ω_V+4·Ω_B = (4π)/3$ sr.
Ad essa corrisponde 1/3 del volume di una delle 5 sfere (che è il volume dell'intersezione delle 5 sfere con la piramide).
Pertanto il volume del solido è:
<Volume della piramide> + (5-1/3)·<Volume di una sfera>
dove
<Volume della piramide> = $4/3·15^3$;
<Volume di una sfera>= $4/3 · π · 5^3$.

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[Erasmus_First]

Un solido è formato da una piramide di altezza $ H=15 $ avente per base un quadrato di lato $L=30$ [...]

Bisognerebbe sapere dove sta, nel piano della base, il piede dell'altezza della piramide. Infatti il volume dell'ntersezione delle sfere con la piramide dipende proprio da ciò.
Nel post di sopra ho asupposto che la piramide sia "retta" (cioè che il piede dell'altezza sulla base coincida col centro del quadrato-base).
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[VisX]

Sì la piramide era retta, scusa la dimenticanza.
Comunque Erasmus sei eccezionale, io mi ero fermato alla considerazione che il cima si avesse un quadrato sferico.
La formula per l'angolo solido non mi era per niente nota
Solo potresti spiegarmi meglio i passaggi che coinvolgono gli angoli diedri e triedri?
Quella è una parte che ho molto trascurato

[Erasmus_First]

... potresti spiegarmi meglio i passaggi che coinvolgono gli angoli diedri e triedri?

Si tratta, in fondo, di "trigonometria sferica" (che non è necessaria, ma è spesso utile].
Le superfici sferiche delle 4 sfere (di uguale raggio) con i centri nei 4 vertici della base della piramide intersecano la piramide in altrettanti triangoli sferici.
La superficie sferica col centro nel vertice della piramide interseca la piramide in un quadrato sferico, divisibile in due triangoli sferici "isosceli" con un angolo pari a ciascuno dei quattro angoli del quadrato sferico e i due angoli uguali pari a metà dell'altro (come nei triangoli isosceli rettangoli della geometria piana... con la differenza che ora, dividendo un quadrato sferico in due triangoli isosceli, l'angolo grande è maggiore di un angolo retto).
Gli angoli dei triangoli e del quadrato sferico sono gli stessi angoli diedri della piramide quadrata.
[Questa ha 8 diedri: 4 coppie di facce laterali consecutive e 4 coppie costituite dalla base della piramide e da una delle 4 facce laterali].
Ho calcolato questi angoli diedri pensando a sezioni ortogonali ai relativi spigoli.
Per esempio, il piano per due vertici opposti della base (della piramide) ortogonale ad uno spigolo laterale seziona la piramide in un triangolo isoscele di cui la base è la diagonale della base della piramide, e i due lati uguali sono le altezze di due facce consecutive della piramide relative ad uno spigolo comune.

Parlo un po' di "trigonometria" sferica".
Ma se vuoi, invece, una specifica precisazione di quel che ho detto nel precedente "post", fammi la richiesta ... precisando a tua volta (per esempio citando una eventuale frase che non hai ben capito ... pardon: che non sia abbastanza chiara.
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Prendi sulla superficie di una una sfera (di centro O e raggio R) tre punti A, B e C che non stiano sullo stesso cerchio massimo. Congiungi le coppie AB, BC e CA con archi di cerchio massimo. In tal modo hai diviso la superficie sferica in due parti che sono "triangoli sferici". Gli archi AB, BC e CA ne sono i tre lati.

Supponiamo (solo per comodità di ... immaginazione!) che gli archi-lato siano minori di mezza circonferenza di cerchio massimo, (che è lunga $πR$).
Allora uno delle due parti di superficie sferica ti dà l'idea di un "triangolo"; l'altra ... di una zucca vuota con un buco triangolare!
Prendiamo per buona la parte piccola.
Proiettando dal centro l'area del triangolo sferico ABC ottieni l''angoloide triedro associato. Questo è "convesso"
[L'altro, quello che proietta il resto della superficie sferica, è un triedro "concavo"].

Un angoloide triedro con il vertice al centro O di una sfera di raggio R la interseca in una specie di "cuneo sferico". Ed interseca la superficie sferica in un triangolo sferico. Angoloide triedro e triangolo sferico da esso proiettato sono "associati" (uno all'altro).
L'angoloide triedro "al centro" ha tre facce (che sono angoli, diciamoli "phi" φ,"chi" χ e "psi" ψ) ciascuna delimitata da due raggi. Ha tre "angoli diedri" (diciamoli "alfa" α, "beta"β e "gamma" γ, rispettivamente opposti agli angoli delle facce "phi", "chi" e "psi" i cui spigoli sono le semirette lati delle facce). Ha infine un "angolo solido" (al centro) di ampiezza "omega" Ω (in steradianti).
I lati del triangolo sferico sono lunghi:
$BC = a = φR$ (<phi per erre>);
$CA = b = χR$ (<chi per erre>);
$AB = c = ψR$ (<psi per erre>).
Gli angoli del triangolo sferico di vertice rispettivo A, B e C sono gli stessi angoli diedri α, β e γ del triedro associato.
Il rapporto tra l'area S del triangolo sferico e la totale area $4πR^2$ della sfera è uguale al rapporto tra l'angolo solido (al centro) Ω e il tolale angolo 4π steradianti sotto il quale è visto l'intero spazio del centro O della sfera (ed uguale al rapporto tra il volume del "cuneo sferico" e il volume della sfera).
Pertanto, studiare le relazioni tra i vari elementi di un angoloide triedro [convesso] è lo stesso di studiare le relazioni tra gli elementi di un triangolo sferico (di lati di lunghezza minore di $πR$).
Questo studio va appunto sotto il nome di "trigonometria sferica".

I teoremi importanti di trigonomia sferica sono quattro. Ma essenziali sono solo due soli, in quanto tre dei quattro teoremi importanti sono tali che da uno di essi si possono dedurre gli altri due.
1) «La somma degli angoli diedri eccede $π$ di $Ω$» (dove $Ω$ è l'angolo solido dell'angoloide triedro associato, ossia l'area del triangolo sferico se si assume unitario il raggio R della sfera). Ossia:
Teorema dell'area
«L'area S del triangolo sferico di angoli α, β e γ e raggio R vale:
$S = ΩR^2 = [(α + β + γ) - π}·R^2$ .

NB: Assunto unitario il raggio R della sfera, coincidono angolo solido al centro Ω e area S del triangolo sferico associato. E i lati del triangolo sferico diventano uguali numericamente gli stessi angoli (misurati in radianti) delle facce dell'angoloide triedro associato . Per comodità, chiamando allora "a, b e c" (in analogia con i triangoli piani) i tre lati del triangolo sferico rispettivamente opposti ai tre angoli α, β e γ, posiamo confonderli con gli angoli delle facce del triedro associato (misurati in radianti).
Con questa convenzione (che rende i lati di un triangolo sferico uguali agli angoli delle facce del triedro associato e l'area del triangolo sferico uguale all'angolo solido al centro), gli altri tre teoremi sono:
2) Teorema dei seni
«Il rapporto tra il seno di un angolo di triangolo sferico e il seno del lato opposto è costante»
$sin(α)/(sin(a))= sin(β)/(sin(b))=sin(γ)/(sin(c))$.

3) Primo teorema dei coseni
«In un triangolo sferico, gli angoli α, β e γ sono individualmente in relazione con i lati a, b e c dello stesso triangolo secondo le seguenti uguaglianze:
$cos(α) = (cos(a) - cos(b)·cos(c))/(sin(b)·sin(c))$;
$cos(β) = (cos(b) - cos(c)·cos(a))/(sin(c)·sin(a))$;
$cos(γ) = (cos(c) - cos(a)·cos(b))/(sin(a)·sin(b))$.

4) Secondo teorema dei coseni
«In un triangolo sferico, i lati a, b e c sono individualmente in relazione con gli angoli α, β e γ dello stesso triangolo secondo le seguenti uguaglianze:
$cos(a) = (cos(α) + cos(β)·cos(γ))/(sin(β)·sin(γ))$;
$cos(b) = (cos(β) + cos(γ)·cos(α))/(sin(γ)·sin(α))$;
$cos(c) = (cos(γ) + ·cos(α)·cos(β))/(sin(α)·(sin(β))$.
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Per maggiori informazioni (di trigonometria sferica) e per le dimostrazioni dei teoremi principali, rimando ad un thread di "Rudi Mathematici" (una sezione del forum di Coelestis) dove, tempo fa, avevo "postato" un paio di pagine (in formato PNG) ad hoc.
=> "Cenni di Trigonometria sferica"
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[VisX]

La parte che non avevo capito era quella sul calcolo degli angoli diedri tra le facce, ma ora mi è chiaro il procedimento
Ti ringrazio anche per aver parlato della trigonometria sferica, di cui avevo già sentito parlare ( avevo capito che fosse legata all'astronomia) ma su cui non avevo trovato nulla di soddisfacente in italiano. È un argomento che mi interessa molto (i problemi con le sfere mi sono sempre piaciuti ) e sono davvero felice che tu l'abbia introdotta