Coprire un piano con rette "incernierate" su un reticolo

[Aster89]

Facevo questo pensiero (non potendo dormire per il caldo!) mentre ripensavo a dei giochini con i nastri dei dolci che mi faceva la mia nonnina

Se ho un reticolo di estensione finita, tipo $Z \times Z$ composto da $n \times n$ punti, essendo $Z \subset ZZ$, posso pensare di "unire" con delle rette ciascuno degli $n^2$ punti con tutti i restanti $n^2 -1$. Naturalmente non coprirò il dominio tutto il piano $RR \times RR$.

Se però $n \to \infty$? $Z \times Z$ diventa tutto $ZZ \times ZZ$, quindi, al limite, riesco a creare rette con pendenza vicina quanto voglio ad una pendenza qualsiasi. Ma il piano, al limite, si riempie? A me verrebbe da dire che restano comunque dei vuoti (a misura nulla..)

Che dite?

[alessandro8]

Ciao.

Se ho capito bene la questione posta, direi che costruendo le rette che uniscano a due a due punti in $ZZ^2$ non si arriva a "coprire" tutto $RR^2$, perchè le rette così realizzate sono tutte rette con pendenza data da un numero razionale (non ho tenuto conto delle rette verticali), quindi sicuramente alcuni punti non verrebbero "coperti"; direi che un esempio di punto di $RR^2$ che viene escluso dal "ricoprimento", sia quello di coordinate $(pi,pi)$.

Sbaglio?

Saluti.

[dan95]

@Alessandro
Sono d'accordo con te, però il punto $(\pi,\pi)$ è ricoperto dalla bisettrice I-III direi più $(\pi,\pi^2)$ ad esempio, praticamente tutti i punti $(x,y)\in RR |y/x \not\in QQ$

[alessandro8]

Hai pienamente ragione, dan95.

Lapsus (mio).

Grazie e saluti.

[Aster89]

Ok, ok, allora è tutto come pensavo.
Allora faccio un'altra domanda correlata alla precedente, a cui avevo alluso scrivendo

(a misura nulla..)

Sempre facendo leva sulla "differenza" tra gli insiemi $RR$ e $QQ$, paradossalmente (rispetto al tentativo di ricoprire il piano con queste rette) l'area coperta da siffatte rette è 0, mentre i "vuoti" determinati da

tutti i punti $(x,y)\in RR |y/x \not\in QQ$

ricoprono tutto il piano, giusto?

[alessandro8]

Ciao.

E' da almeno un quarto di secolo che non vedo nozioni di teoria della misura; per semplicità riferiamoci al confronto tra gli insiemi $QQ$ e $RR$; mentre il primo insieme è costituito da un'infinità di elementi di tipo numerabile (cioè: esiste una biiezione tra $QQ$ e $NN$), ciò non vale per $RR$.

Rispetto alla misura di Lebesgue $mu$, si ha $mu(QQ)=0$, ma attenzione: ciò significa che $mu(RR-QQ)=mu(RR)$, ma non che l'insieme $RR-QQ$ ricopra tutto $RR$.

Non so se io abbia "centrato" il problema posto.

Saluti.

[Aster89]

Non so se io abbia "centrato" il problema posto.

Penso che il problema l'hai centrato. Sono io che forse non ho centrato la risposta

Rispetto alla misura di Lebesgue $mu$, si ha $mu(QQ)=0$, ma attenzione: ciò significa che $mu(RR-QQ)=mu(RR)$, ma non che l'insieme $RR-QQ$ ricopra tutto $RR$.

Se la misura di $RR$ è "tutta la retta reale" perché un insieme con la stessa misura come $RR-QQ$ non ricopre tutta la retta reale?? o.O
Cioè, ho capito che restano dei buchi, ma sono buchi a misura nulla, comunque, no?

O forse intendi semplicemente che $RR-QQ$ non copre tutto $RR$ proprio perché che restano i buchi? xD
Se è così, allora mi ero spiegato male: per "ricoprire" mi riferivo al farlo "col pennello". Insomma, su una superficie (che nel caso 1D che dici è la lunghezza)

[alessandro8]

O forse intendi semplicemente che $ RR-QQ $ non copre tutto $ RR $ proprio perché che restano i buchi?

Si, intendevo proprio ciò.

Se per "ricoprire col pennello" intendi la procedura di ignorare gli insiemi "scoperti" dotati di misura nulla, allora è più corretto affermare che i due insiemi $RR-QQ$ e $RR$ coincidono "$mu$-quasi ovunque" rispetto alla misura di Lebesgue, o che $QQ$ è "Lebesgue-trascurabile" rispetto a $RR$.

Devo ammettere che non vedo più queste cose da molto tempo...

Saluti.

[Aster89]

Ok, allora mi è tutto chiaro. Grazie

[alessandro8]

Di nulla.

Saluti.