Somma di quadrati

[Vulplasir]

Tre quadrati: $1;1;1$, Il triplo della loro somma fa $9$, e $9$ non si può esprimere come somma di $4$ quadrati. La questione malposta dal problema risulta falsa.

[dan95]

9=4+4+1+0

[Vulplasir]

Beh se $0$ si può usare a questo punto si fa prima a dimostrare che qualsiasi numero intero può essere espresso come somma di $4$ quadrati, contando anche lo $0$ tra i $4$

[coleridge]

Credo che il quesito chieda, dati tre numeri interi $a$, $b$, $c$, di trovare esplicitamente quattro numeri interi $x$, $y$, $z$, $w$ (cioè scrivendoli in funzione di $a$, $b$, $c$) tali che $$x^2+y^2+z^2+w^2=3(a^2+b^2+c^2)$$

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Ad esempio $x=a-b$, ...

[Pachisi]

Se l'interpretazione di coleridge è giusta, allora basta prendere $x=a+b+c$, $y=a-c$, $w=b-c$ e $z=a-b$.
Infatti, non è sempre vero che la somma di quattro quadrati è il triplo della somma di tre quadrati. Come contro esempio, consideriamo $21=4^2+2^2+1^2+0^2$. Quindi, dovrebbe essere $a^2+b^2+c^2=7$ che però è impossibile. Più in generale, se $x^2+y^2+z^2+w^2=3\cdot 4^m (8k+7)$ (che e` sempre possibile per il teorema dei quattro quadrati) con $m,k$ naturali, per il teorema dei tre quadrati non si hanno soluzioni intere per $a,b,c$.

[Nic02]

Se consideriamo un numero esprimibile come somma di 3 quadrati allora il gioco è fatto, infatti, $ a^2+b^2+c^2=a^2+b^2+c^2+0^2 $ del resto $ 3= 1^2+1^2+1^2+0^2 $. Questi sono entrambi esprimibili come somma di 4 quadrati e per l'identità di Eulero sulle somme di quadrati anche il loro prodotto è esprimibile come somma di 4 quadrati.

[sprmnt21]

Magari sbaglio a fare i conti, ma se no la seguente identità dovrebbe giustificare l'asserzione:

3(a^2+b^2+c^2) = (a+b+c)^2+(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2